箭图的线性表示为何可视为从其自由范畴到k-向量空间范畴的函子？

这个问题我当初刚接触箭图表示的时候也卡过好久！核心其实是：函子的定义会自动帮我们补全那些自由范畴里多出的态射对应的映射，根本不需要额外添加原表示没有的数据——原表示给出的顶点空间和箭图箭头的线性映射，已经足够唯一确定这个函子了。

咱们逐个解决你提到的两个问题：

1. 关于自由范畴里的恒等态射（比如$1_x$） #

函子有个硬性要求：必须把范畴里的恒等态射映射到目标范畴的恒等态射，也就是对任意对象$v$，$F(\text{id}v) = \text{id}{F(v)}$。

在你的例子里，原表示已经给出了$M_x = k^{\oplus 2}$，那函子把$\text{Hom}(x,x)$里的$1_x$映射到$k^{\oplus 2}$上的恒等线性映射$\text{id}_{k^{\oplus 2}}$，这是函子公理强制的，不是额外“加”的内容，完全不需要你手动指定。同理，$1_y$对应$\text{id}k$，$1_z$对应$\text{id}{k^{\oplus 3}}$，都是自动确定的。

2. 关于自由范畴里的路径态射（比如$x\xrightarrow{a;b}z$） #

函子还有另一个硬性要求：必须保持态射的合成，也就是对任意可合成的态射$f$和$g$，$F(f\circ g) = F(f)\circ F(g)$。

自由范畴里的路径$a;b$其实就是态射的合成：先$a$后$b$，也就是$b\circ a$（注意范畴里合成的顺序，通常是“先做a，再做b”写成$b\circ a$）。那函子对这个路径的映射，就必须是原表示里$\rho(b)$和$\rho(a)$的复合：$\rho(b)\circ \rho(a)$。

拿你的例子算一下：
$\rho(a) = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}$，$\rho(b) = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$，那它们的复合就是：
$$\begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\0&0\0&0\end{bmatrix}$$
这个映射就是函子给路径$a;b$指定的像，完全由原表示的$\rho(a)$和$\rho(b)$决定，不需要额外定义。

本质：表示和函子是一一对应的 #

其实箭图的表示和从$\text{FrCat}(Q)$到$\textbf{Vect}_k$的函子是一一等价的：

• 给定一个箭图表示，我们可以唯一构造出对应的函子：顶点对应空间，原箭图箭头对应给定的线性映射，恒等态射对应空间的恒等映射，路径态射对应线性映射的复合——所有这些都由函子的公理唯一确定，没有歧义。
• 反过来，给定这样一个函子，我们只需要把它“限制”在原箭图的顶点和箭头上，就能得到一个箭图表示：顶点对应函子的对象像，箭图箭头对应函子的态射像。

所以说“表示可视为函子”，其实是用范畴论的语言重新描述了箭图表示的概念，利用了自由范畴的普遍性——自由范畴就是把箭图里所有可能的路径（包括长度为0的恒等路径）都形式化出来的范畴，而函子的规则正好完美适配了箭图表示里“线性映射可以复合”“恒等映射存在”的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user831160