关于域扩张构造中K与K[x]/(f)等同性的严谨性疑问

我完全理解你的困惑！刚学域扩张的时候，这种“把两个明明不是同一个集合的东西当成一个”的操作确实会让人觉得不严谨，甚至有点“耍赖”的感觉。其实这里的关键是要重新理解域扩张的本质定义，以及代数里“同构即等同”的核心思想。

先澄清一个点：很多教材里写“F是K的域扩张当且仅当K是F的子域”，这其实是一种简化的表述，更严谨的定义应该是：

若存在一个单射的域同态 $\iota: K \to F$，则称F是K的一个域扩张。

这时候，K本身不需要是F的子集，但它的同构副本$\iota(K)$是F的子域。而代数里的一个核心原则是：同构的代数结构在所有代数性质上是完全等价的——对于域来说，两个同构的域就像“一模一样的双胞胎”，不管是做加法乘法，还是讨论多项式的根、扩张次数，结果都完全相同，所以我们可以把它们当成同一个东西来处理，这就是教材里说的“identification（等同）”。

回到你的例子：

• 你提到的同态 $k \mapsto \bar{k} = k + (f_1)$ 就是一个单射域同态：如果 $\bar{k_1} = \bar{k_2}$，那么 $k_1 - k_2 \in (f_1)$，但 $f_1$ 是正次数不可约多项式，K是域，非零常数不可能被 $f_1$ 整除，所以只能是 $k_1 = k_2$，这就证明了单射性。
• 这个同态的像 $\iota(K) = { \bar{k} \mid k \in K }$ 是 $F = K[x]/(f_1)$ 的一个子域，而且和K完全同构。

所以教材里说“把K和它在F中的像等同起来”，本质上就是把K和$\iota(K)$当成同一个集合，这样一来，K就“变成”了F的子域，F自然就是K的域扩张了。

如果实在纠结“字面意义上的子集”，我们也可以构造一个真正包含K的同构域：比如取 $F' = (F \setminus \iota(K)) \cup K$，然后重新定义F'上的运算，让原来的$\iota(K)$和K对应起来，这样F'和F同构，而且K真的是F'的子集。但这种构造完全是多余的——因为同构的域代数性质完全一样，这么做只会增加不必要的繁琐，所以教材才直接用“等同”的方式简化表述。

再回到那个定理：构造的$F=K[x]/(f_1)$，通过这个等同，我们把K看作F的子域，而$\bar{x} = x + (f_1)$就是F里的元素u，它满足$f(u) = f(\bar{x}) = \overline{f(x)} = \bar{0}$（因为$f(x) \in (f_1)$），所以确实是f的根，完全符合定理的要求。

其实这种“同构即等同”的操作在代数里非常常见，比如我们把整数$\mathbb{Z}$嵌入到有理数$\mathbb{Q}$里，把$\mathbb{Q}$嵌入到$\mathbb{R}$里，本质上也是用了同样的逻辑——严格来说$\mathbb{Z}$不是$\mathbb{Q}$的子集，但我们把$\mathbb{Z}$和$\mathbb{Q}$里的${n/1 \mid n \in \mathbb{Z}}$等同起来，就可以说$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam Wong