如何证明表达式$2(2\sqrt2)^n\cos(n \cdot \arctan(\frac{\sqrt 7}{5}))$对所有$n \in \Bbb N$均为奇数整数？

嘿，其实你不用在极坐标的表达式里绕圈子啦，换个思路用递推关系加数学归纳法会简单很多，而且能直接证出结果：

首先，先从已知条件推导p和q满足的二次方程：

• 已知$p+q=5$，$p^2+q2=9$，根据完全平方公式，$pq = \frac{(p+q)^2 - (p^2+q2)}{2} = \frac{25-9}{2}=8$
• 所以p和q是二次方程$x^2 -5x +8=0$的两个根

接下来构造数列$a_n = p^n + q^{n$——其实这就是你给出的那个极坐标表达式（因为p和q是共轭复数，$p=re}{iθ}$，$q=re^{{-iθ}$，所以$p}n+q^n=2rn\cos(nθ)$，代入r和θ的值就得到你写的式子）。根据二次方程的性质，这个数列满足递推关系：

对于$n \geq 3$，$a_n = 5a_{n-1} -8a_{n-2}$
推导：因为$p^{2=5p-8$，两边乘$p}{n-2}$得$p^n=5p{n-1}-8p^{{n-2}$，同理$q}n=5q^{n-1}-8q{n-2}$，两式相加就得到递推式。

现在用数学归纳法证明$a_n$是奇数整数：

• 基例验证：
  • $n=1$时，$a_1=p+q=5$，是奇数；
  • $n=2$时，$a_2=p^2+q2=9$，也是奇数。
• 归纳假设：假设对于所有$k \leq n$（$n \geq 2$），$a_k$都是奇数整数。
• 归纳步骤：看$a_{n+1}=5a_n -8a_{n-1}$，其中：
  • $5$乘以奇数结果还是奇数；
  • $8$乘以任何整数都是偶数；
  • 奇数减去偶数，结果必然是奇数。
    所以$a_{n+1}$也是奇数整数。

这样就通过归纳法证明了对所有$n \in \Bbb N$，$a_n$（也就是你给出的那个表达式）都是奇数整数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kristijan Bilanovic