关于判断线性变换T是否为同构映射的技术问询

给定线性变换 $T: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3$，其在标准基下的作用为：
$$T(1, 0, 0) = (1, 0, i) \ T(0, 1, 0) = (0, 1, 1) \ T(0, 0, 1) = (i, 1, 0)$$
我需要判断这个变换是否是同构映射。我知道这等价于判断T是否是双射（或者单射），也已经写出了T的像空间：
$$\text{Im}(T) = \Big{\lambda_1(1, 0, i) + \lambda_2(0, 1, 1) + \lambda_3(i, 1, 0) \mid \lambda_i \in \mathbb{C} \Big}$$
但不知道如何证明（或证伪）$\mathbb{C}^3$ 和 $\text{Im}(T)$ 之间的一一对应关系，希望得到帮助。

嘿，这个问题其实有几个很直接的验证方法，毕竟咱们是在有限维向量空间里，线性变换是同构的充要条件挺多的，选一个顺手的就行：

方法一：计算变换矩阵的行列式 #

对于有限维空间的线性变换，它是同构当且仅当它在任意基下的矩阵可逆，而行列式非零就是可逆的核心标志。

首先把T在标准基下的矩阵写出来——就是把每个基向量的像作为列向量依次排列：
$$M_T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \
0 & 1 & 1 \
i & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

接下来计算这个矩阵的行列式：
$$\det(M_T) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix} - 0 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 1 \ i & 0\end{pmatrix} + i \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 1 \ i & 1\end{pmatrix}$$
一步步拆解计算：

• 第一个子行列式：$10 - 11 = -1$
• 第三个子行列式：$01 - 1i = -i$
  代入后得到：
  $$\det(M_T) = 1*(-1) + i*(-i) = -1 - i^2$$
  因为$i^2=-1$，所以最终结果是$-1 - (-1) = 0$。

行列式为0说明矩阵不可逆，那T既不是单射也不是满射，自然不是同构映射。

方法二：找非零的核空间向量 #

线性变换是单射的充要条件是它的核空间（被映射到零向量的向量集合）只包含零向量。咱们可以试试找一个非零向量让T把它映射到零：

假设存在$(a,b,c) \in \mathbb{C}^3$使得$T(a,b,c)=(0,0,0)$，展开后得到方程组：
$$\begin{cases}
a + c \cdot i = 0 \
b + c = 0 \
a \cdot i + b = 0
\end{cases}$$
从第二个方程得$b = -c$，代入第三个方程：$a \cdot i - c = 0 \implies a = \frac{c}{i} = -c \cdot i$（因为$\frac{1}{i}=-i$）。再把$a$代入第一个方程：$-c \cdot i + c \cdot i = 0$，这是恒成立的。

那咱们取$c=1$，就得到$a=-i$，$b=-1$，也就是向量$(-i, -1, 1)$——这是个非零向量，但$T(-i,-1,1)=(0,0,0)$。这说明核空间不是仅含零向量的平凡空间，T不是单射，所以肯定不是同构。

方法三：验证像空间的生成向量是否线性相关 #

你已经写出了像空间是那三个向量的线性组合，那如果这三个向量线性相关，像空间的维度就小于3，而定义域是3维的，T肯定不是满射，也就不是同构。

假设存在$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \mathbb{C}$使得：
$$\lambda_1(1,0,i) + \lambda_2(0,1,1) + \lambda_3(i,1,0) = (0,0,0)$$
展开后得到的方程组和方法二完全一样，解出来存在非零的系数（比如$\lambda_1=-i, \lambda_2=-1, \lambda_3=1$），说明这三个向量线性相关，像空间维度不足3，T不是满射，自然不是同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lafinur