关于泰勒余项特性与|x-x₀|ᵏ随k变化规律的技术问询

嘿，咱们来一步步拆解你这两个关于泰勒级数的问题，把背后的逻辑说清楚：

一、为什么我们不说$R_{k+1}$？ #

首先得回忆泰勒余项的定义：当$f \in C^{k+1}(A, \mathbb{R})$时，$k$阶泰勒多项式的拉格朗日余项是：
$$R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} (x-x_0)^{k+1}$$
这里的$\xi$是介于$x$和$x_0$之间的某个值。

题目里的极限$\lim_{x \to x_0} \left| \frac{R_k(x)}{(x-x_0)^{k+1}} \right|$，代入余项表达式后就变成$\lim_{x \to x_0} \left| \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} \right|$。因为$f^{(k+1)}$是连续函数，当$x$趋近$x_0$时，$\xi$也会趋近$x_0$，所以这个极限就是$\left| \frac{f^{(k+1)}(x_0)}{(k+1)!} \right|$，显然是个有限值。

那为什么不能用$R_{k+1}$呢？原因很简单：$R_{k+1}$是$(k+1)$阶泰勒多项式的余项，它的定义需要$f$具有$(k+2)$阶连续导数（也就是$f \in C^{k+2}(A, \mathbb{R})$），但题目里只给出了$f \in C^{k+1}$的条件——我们只知道$f$的$k+1$阶导数连续，根本没法保证$k+2$阶导数存在，自然也就没法定义$R_{k+1}$啦。

二、“当x靠近x₀时，|x-x₀|^k随k增大而减小，因此k越高精度越高”到底是什么意思？ #

这句话的核心要抓住两个点：

• 当$x$足够靠近$x_0$时，$|x-x_0|$是一个小于1的正数（比如$|x-x_0|=0.1$）。对于小于1的正数，它的幂次越高，数值就越小：比如$0.1^{1=0.1$，$0.1}2=0.01$，$0.1^{3=0.001$，随着$k$增大，$|x-x_0|}k$会快速趋近于0。
• 泰勒余项$R_k(x)$的量级是$O((x-x_0)^{{k+1})$，也就是说当$x$靠近$x_0$时，余项的大小和$(x-x_0)}{k+1}$是同阶的。$k$越大，这个幂次就越高，余项的数值就越小——意味着$k$阶泰勒多项式对$f(x)$的逼近误差就越小，也就是精度越高。

举个直观的例子：$f(x)=e^x$在$x_0=0$处的泰勒展开，

• 当$k=1$时，多项式是$1+x$，余项$R_1(x)=\frac{e^\xi}{2}x2$，当$x=0.1$时，余项大概是$\frac{e^{{0.1}}{2}*(0.1)}2≈0.0055$；
• 当$k=2$时，多项式是$1+x+\frac{x^{2}{2}$，余项$R_2(x)=\frac{e}\xi}{6}x^{3$，同样$x=0.1$时，余项大概是$\frac{e}{0.1}}{6}*(0.1)^3≈0.00018$；
• $k$越大，余项的数值就越小，多项式和原函数的贴合度就越高，这就是“精度越高”的直观体现。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aliosha karamazov