关于单ℤ-模恰为ℤ/pℤ（p为素数）的证明验证
嘿，我来梳理并验证这个证明思路是否可行～最近我在读Benson Farb和R. Keith Dennis的《Noncommutative Algebra》，在第30页看到结论：所有单$\mathbb{Z}$-模都是$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$是素数）。书上用了一个现成定理——模$M$是单模当且仅当它同构于$R/I$（$I$是极大左理想）——来快速证明，但我想试着跳过这个定理自己推导，当作练习。
结果推导过程比我预想的简单，还很快排除了无限阿贝尔群的可能，这反倒让我有点犯嘀咕：这个论证真的站得住脚吗？所以想确认一下，这个思路能不能用来证明单$\mathbb{Z}$-模恰好就是$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$？
先明确一下我们用的定义：单模指的是它的子模格恰好只有两个元素——也就是只有零子模和模本身。
引理101
设$G = \langle B \rangle$是一个非平凡阿贝尔群，且生成集$B$里不含0元素，同时$G$没法由单个元素生成，那么$B$中一定存在两个元素，它们能生成$G$的两个不同的真子群。
证明：根据假设，$B$里任意一个元素$a$生成的$\langle a \rangle$都是$G$的真子群。假设反过来，如果$B$里任意两个不同的元素$a \neq b$生成的子群都一样，那对$B$里任意非零元素$c$，$G$都等于$\langle c \rangle$，这和$G$不能由单个元素生成的前提矛盾。所以必然存在$a,b \in B$，使得$\langle a \rangle \neq \langle b \rangle$。
注：这里我们没要求$B$是$G$的极小生成集哦。
定理：$\mathbb{Z}$-模$M$是单模当且仅当$M \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$为素数）
从右到左证（RTL）：
随便取一个素数$p$，设$M = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。零元素生成零子模$\langle 0 \rangle$，而任何非零元素都能生成整个$M$，这两个子模显然不同，所以$M$的子模格只有两个元素，符合单模的定义。
从左到右证（LTR）：
把$M$当作阿贝尔群$G$来看，设$B$是$G$的极小生成集——也就是所有能生成$G$的集合里，元素个数最少的那个。
- 如果$B$是空集，那$G$就是平凡群，显然不是单模；
- 如果$B$有两个及以上元素：根据引理101，$B$里存在$a \neq b$，使得$\langle a \rangle \neq \langle b \rangle$，那$G$的子模格至少有三个元素（零子模、两个不同的真子模、$G$本身），肯定不符合单模的要求；
- 如果$B$只有一个元素$a$：
- 要是$a$的阶是无限的，那$\langle 2a \rangle$就是$G$的一个真子群，既不是零子模也不等于$G$，所以$G$不是单模；
- 要是$a$的阶是$n$：
- 如果$n$是合数（比如$n=kl$，$k,l$都大于1），那$\langle ka \rangle$就是一个真子模，既非零也不是$G$，$G$自然不是单模；
- 如果$n$是素数，那$G$就同构于$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，这时候它就是单模。
所有情况都覆盖到啦。
后续修正说明
之后我对原论证做了几处调整，让它更严谨：
- 将“empty group”改为“trivial group”（即平凡群）；
- 在引理101的证明中，把“every $c$ in $B$”修正为“every nonzero $c$ in $B$”；
- 更新了引理101的表述，明确排除$0 \in B$的情况。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Greg Nisbet
