三次方程实根顺序的判定及根表达式大小关系的证明问询

这是一个我自己琢磨后想记录下来的自答型问题——之前没找到相关参考资料，索性整理出来分享讨论。

考虑三次方程：
$$t^3+pt+q=0$$
它的判别式为：
$$\Delta=-(4p^3+27q2)$$

当方程有三个不同的实根时，等价于 $\Delta > 0$，也就是 $4p^3+27q2<0$。
特别要注意的是，这个条件会强制要求 $p<0$。

这三个实根可以表示为：
$$x_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p} \sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-k\frac{2\pi}{3}\right),$$
其中 $k=0,1,2$。

待证结论 #

$$x_0 > x_1 > x_2$$
请问该如何证明这个结论？

补充说明 #

要让 $\arccos$ 函数有意义，必须满足：
$$-1 \le\frac{3q}{2p} \sqrt{\frac{-3}{p}} \le 1,$$
这个条件等价于：
$$\frac{27q^2}{-4p3} \le 1$$
因为 $p<0$，我们可以两边同时乘以 $-4p^3$（此时 $-4p^3$ 是正数，不等号方向不变），最终等价于：
$$27q^2 \le -4p^3,$$
也就是 $\Delta \ge 0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Asaf Shachar