度量空间中诱导度量下子集开集的拓扑性质问询

嘿，这个问题问到点子上了！先直接给结论：不一定——在诱导度量$(Y,d_Y)$下的开集$U$，并不必然在原度量空间$(X,d)$中也是开集。

我给你举个最直观的例子就能明白：

• 取原空间$X=\mathbb{R}$，用标准的欧几里得度量$d(x,y)=|x-y|$；
• 取子集$Y=[0,1]$，它的诱导度量$d_Y$就是把$d$限制在$Y$上；
• 现在看$U=[0, \frac{1}{2})$，这个集合在$(Y,d_Y)$里是开集：对于点$0\in U$，随便取$r\in(0, \frac{1}{2})$，$Y$里以$0$为中心、$r$为半径的邻域$U_r(0)|_{d_Y} = {y\in Y \mid d_Y(0,y)<r} = [0,r)$，完全包含在$U$里；而$U$里其他点的邻域和$\mathbb{R}$里的邻域一样，自然也都在$U$内。
• 但换到原空间$X=\mathbb{R}$里看，$U=[0, \frac{1}{2})$就不是开集了：对于点$0\in U$，不管取多小的$r>0$，$\mathbb{R}$里的邻域$U_r(0)|_{d_X}=(-r,r)$里总会包含负数，这些负数不在$U$里，所以$U$无法满足“每个点都有一个完全包含在自身内的邻域”这个开集定义。

你自己想到的那个逻辑完全是对的：当$U$在$Y$中开但在$X$中不开时，必然存在某个$a\in U$，使得对任意$r>0$，$Y$里的邻域$U_r(a)|{d_Y}\subset U$，但$X$里的邻域$U_r(a)|{d_X}\not\subset U$——本质原因就是$X$的范围比$Y$大，$a$在$X$里的邻域会包含$Y$以外的点，而这些点不在$U$中。

从拓扑的本质定义来说，$(Y,d_Y)$的诱导拓扑里的开集，其实就是原空间$X$的开集与$Y$的交集，也就是$U = V \cap Y$，其中$V$是$X$中的开集。只有当$Y$本身是$X$的开集时，这种交集才会是$X$的开集；如果$Y$不是$X$的开集（比如刚才例子里的$[0,1]$在$\mathbb{R}$中是闭集），那$V\cap Y$就很可能不是$X$的开集了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CherryBlossom1878