关于非ℝ同构的完备无界稠密线性序集的验证与相关问题

首先，你提到的$\mathbb{R}$是同构意义下唯一的完备线性序域，这个结论完全正确。当我们去掉“域”的限制，只保留完备、无界、稠密线性序这几个核心性质时，情况就变得丰富多了——存在大量和$\mathbb{R}$不同构的这类集合。

对你第一个构造的验证 #

你的构造思路非常巧妙，但有一个细节需要修正：如果直接把多个$(-\infty,0]$拷贝按“前一个拷贝的所有元素都小于后一个拷贝”的方式拼接，那么相邻两个拷贝的0元素之间没有任何中间元素，这会破坏稠密性（稠密性要求任意两个不同元素之间都存在第三个元素）。

不过调整一下构造就能解决这个问题：比如把每个块换成$(-\infty,0)$（没有右端点），再在块与块之间填补衔接元素；或者更直接的方式——构造一个基数为$2^{2\mathbb{N}}$的完备无界稠密线性序集，再把$\mathbb{R}$嵌入其中。不管怎样，你的核心论证是成立的：这个集合的基数是$2^{2\mathbb{N}}$，远大于$\mathbb{R}$的基数$2^\mathbb{N}$，而序同构必然保持基数，所以它肯定和$\mathbb{R}$不同构。

当拷贝数量改为$2^\mathbb{N}$时的情况 #

如果把前后的拷贝数量换成$2^{\mathbb{N}$，这个集合的基数仍然是$2}\mathbb{N}$（和$\mathbb{R}$相同），但它依然和$\mathbb{R}$不同构！原因在于$\mathbb{R}$是可分的——存在一个可数稠密子集（比如有理数集$\mathbb{Q}$），而你构造的集合是不可分的：

• 你有$2^\mathbb{N}$个互不相交的“块”，每个块里的元素都严格小于后面块的元素；
• 任何可数子集最多能覆盖可数个块，剩下的$2^\mathbb{N}$个块里的元素和这个可数子集没有交集，因此这个可数子集无法在整个集合中稠密。

可分性是序同构的不变量，所以这个集合仍然和$\mathbb{R}$不同构。

另一个经典例子 #

我给你举一个更标准的例子：考虑所有从$\mathbb{N}$到${0,1}$的函数构成的集合$2^\mathbb{N}$，我们给它赋予字典序：对于两个不同的函数$f,g$，找到最小的$n \in \mathbb{N}$使得$f(n) \neq g(n)$，如果$f(n)=0$且$g(n)=1$，则$f < g$。然后取这个序集的完备化（即填补所有Dedekind间隙），得到的集合$L$就是一个完备、无界、稠密的线性序集，且和$\mathbb{R}$不同构。

原因是$2^{\mathbb{N}$本身是不可分的（没有可数稠密子集），它的完备化$L$也继承了这个性质，而$\mathbb{R}$是可分的，因此两者不可能同构。而且$L$的基数是$2}{2^\mathbb{N}}$，也远大于$\mathbb{R}$的基数，进一步验证了不同构性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathlearner98