关于CW复形对(X,Xⁿ)是n-连通的证明疑问

嘿，我来帮你理清楚这个问题！你现在用Hatcher的书自学代数拓扑，对n-连通的定义是$π_k(X,X^n)=0$（$1≤k≤n$），想知道怎么用胞腔逼近定理来推导对吧？其实核心就是用相对胞腔逼近定理，我给你一步步拆解：

1. 先明确相对同伦群的定义：$π_k(X,X^{n)$中的元素是映射$f:(D}k, ∂D^k)→(X,Xn)$的相对同伦类（这里的同伦要保持边界$∂D^{k$始终映射到$X}n$）。我们的目标是证明所有这样的同伦类都是零元。

2. 回忆相对胞腔逼近定理：对于CW复形对$(X,X^{n)$，任何连续映射$f:(D}k, ∂D^k)→(X,Xn)$（其中$k≤n$），都存在一个相对$∂D^{k$的同伦$H:D}k×I→X$，满足：

   • $H(x,0)=f(x)$，
   • $H(x,1)=g(x)$，其中$g(D^k)⊂Xn$，
   • 对所有$x∈∂D^{k$和$t∈I$，$H(x,t)=f(x)∈X}n$。

3. 结合起来看：这个同伦$H$就说明$f$和$g$在$π_k(X,X^{n)$中代表同一个元素。而$g$的像完全包含在$X}n$里，相当于$g:(D^k, ∂D^k)→(Xn,X^{n)$。但相对同伦群$π_k(X}n,X^{n)$是零群——因为所有从$(D}k, ∂D^k)$到$(Xn,X^n)$的映射都和常值映射相对同伦，所以$[g]=0$，进而$[f]=0$。

4. 对所有$1≤k≤n$重复这个推理，就能得出$π_k(X,X^{n)=0$，也就是$(X,X}n)$是n-连通的。

其实关键就是记住胞腔逼近定理有相对版本，专门处理这种从胞腔到CW复形对的映射，能把映射“压缩”到低维骨架里，而低维骨架的相对同伦群是平凡的，自然就推出了我们要的结论。你可以回去翻Hatcher书里胞腔逼近定理的相关章节，里面应该明确提到了这个相对版本的表述~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者XPenguen