已知距离求解坐标：《无人深空远征14》星系定位问题

已知条件：

• R0 坐标：(0, 0, 0)
• R1 坐标：(105, 0, 0)
• 各星系间跃迁距离（单位：ly）：

由于假设R4在x-y平面无法求解R2，因此需要采用三维坐标系下的联立方程求解，步骤如下：

步骤1：推导R4的坐标表达式 #

设R4=(x₄, y₄, z₄)，利用R0-R4和R1-R4的距离列方程：

1. x₄² + y₄² + z₄² = 33² = 1089
2. (x₄ - 105)² + y₄² + z₄² = 76² = 5776

两式相减消去y₄² + z₄²，计算得：
x₄ ≈ 30.181

代入第一个方程，得：
y₄² + z₄² ≈ 178.11

这里不假设z₄=0，而是用参数θ表示：
y₄ = √178.11 · cosθ，z₄ = √178.11 · sinθ，θ为待确定的角度变量。

步骤2：用θ表示R5的坐标 #

设R5=(x₅, y₅, z₅)，利用R0-R5、R1-R5、R4-R5的距离列方程：

1. x₅² + y₅² + z₅² = 235² = 55225
2. (x₅ - 105)² + y₅² + z₅² = 187² = 34969
3. (x₅ - x₄)² + (y₅ - y₄)² + (z₅ - z₄)² = 225² = 50625

前两式相减求得：
x₅ ≈ 148.957，y₅² + z₅² ≈ 33037

展开第三个方程并整理，利用点积关系可得：
y₅y₄ + z₅z₄ ≈ -1651.2

结合R4的参数化表达式，可推导出R5的y₅、z₅也能用θ表示（通过三角函数关系确定φ与θ的关联）。

步骤3：用θ表示R3的坐标 #

设R3=(x₃, y₃, z₃)，利用R0-R3、R1-R3、R4-R3的距离列方程：

1. x₃² + y₃² + z₃² = 360² = 129600
2. (x₃ - 105)² + y₃² + z₃² = 373² = 139129
3. (x₃ - x₄)² + (y₃ - y₄)² + (z₃ - z₄)² = 370² = 136900

前两式相减求得：
x₃ ≈ 7.1238，y₃² + z₃² ≈ 129549.25

展开第三个方程整理后，通过点积关系可推导出R3的y₃、z₃同样能用θ表示。

步骤4：联立方程求解θ及R2坐标 #

设R2=(x₂, y₂, z₂)，利用R0-R2、R1-R2的距离先求得：
x₂ ≈ 62.2905，y₂² + z₂² ≈ 63200.9

再结合R2-R4、R2-R3的距离方程，展开后整理出关于y₂、z₂与R4、R3参数化坐标的点积方程：

1. y₂y₄ + z₂z₄ ≈ -3975.5
2. y₂y₃ + z₂z₃ ≈ 66396.3

将R4、R3的参数化表达式代入上述方程，结合y₂² + z₂²的定值，可得到仅含θ的三角函数方程，解此方程即可确定θ的值，进而求出R4、R5、R3的精确坐标，最后代入R2的相关方程得到R2的坐标。

求解完成后，可通过R2-R5的距离数据验证结果的正确性，调整计算中的近似误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shirha