关于仅被模4余1素数整除的自然数集合渐近密度中常数C的计算方法问询

我最近在研究自然数集合$S$的渐近密度，这个集合里的数只能被满足$p \equiv 1 \bmod 4$的素数整除（还有类似的$\mathbb{N}$子集也在我的研究范围内）。

我已经知道，$S$中不超过$n$的元素个数有如下渐近密度形式：
$$ \pi_S(n) \approx Cn\ln(n)^{-1/2}. $$

但我搞不清楚怎么推导能用来计算常数$C$的表达式。我看过不少资料，它们都提到$C$可以用Dirichlet L函数的特殊值表示，或者像孪生素数常数那样写成欧拉乘积的形式。

有一个Tauberian定理是这样描述的：

如果Dirichlet级数$F(s) = \displaystyle\sum\limits_{n \geq 1}{\frac{a_n}{n^s}}$的系数非负，在$\text{Re}(s) > 1$时收敛，并且$F(s)$可以解析延拓到$\text{Re}(s) = 1$上，仅在$s=1$处有奇点，此时$F(s) = H(s)(s-1)^{\alpha-1}$，其中$\alpha \in \mathbb{R}$，$H(s)$在$\text{Re}(s) \geq 1$上全纯且非零，那么
$$ \sum\limits_{n \leq x}{a_n} \approx Cx\ln(x)^{-\alpha}, \quad \quad C = \frac{H(1)}{\Gamma(1-\alpha)}. $$

我想着可以用这个定理来解决问题，取$a_n=1$当$n \in S$，否则$a_n=0$，这样对应的Dirichlet级数就是：
$$ F(s) = \displaystyle\prod\limits_{p \equiv 1 \bmod 4}{(1-p^{-s}){-1}}. $$

但我一直没法把$F(s)$用L函数表示出来。我定义了一个类似的$G(s)$，对应的是仅被$p \equiv 3 \bmod 4$的素数整除的数的Dirichlet级数，然后设$\chi_0, \chi_1$分别是模4的平凡Dirichlet特征和非平凡Dirichlet特征，我得到了以下关系：
$$L(s,\chi_0) = F(s)G(s) \quad \text{and} \quad L(s,\chi_1) = F(s)G(2s)/G(s).$$

我的问题是：能不能用上面提到的Tauberian定理，通过把$F(s)$用L函数表示出来（或者用其他方法），得到常数$C$的表达式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者h4tter