关于费马超曲面$X_{n,d}$去掉任意一点后的非射影性与仿射性的技术问询

大家好，我最近在做2017年的一份代数几何考题，遇到了下面这个关于费马超曲面的问题，已经解决了一部分，但还有困惑的地方，想请教各位：

先交代一下背景：固定整数 $n \geq 1$ 和 $d \geq 2$，设 $X_{n,d} \subset \mathbb{P}^{n+1}k$ 是由方程
$$F{n,d}: X_0^{d}+ \cdots + X_{n+1}^{d} = 0$$
定义的费马超曲面，容易验证它是维数为$n$的非奇异代数簇。

考题问题：设 $p \in X_{n,d}$ 是任意一点，证明 $X_{n,d} \smallsetminus {p}$ 不是射影簇，并判断它何时是仿射簇？

我已经搞懂了它为什么不是射影簇，但在判断仿射性的时候卡壳了，下面是我的尝试：

• 当 $n \geq 2$ 时，单点集 ${p}$ 在 $X_{n,d}$ 中的余维数 $\geq 2$，根据Hartog延拓定理，包含映射 $i: X_{n,d} \smallsetminus {p} \hookrightarrow X_{n,d}$ 诱导了全局截面的同构：
  $$i^{\sharp}: \Gamma(X_{n,d}, \mathcal{O}{X{n,d}}) \rightarrow \Gamma(X_{n,d} \smallsetminus {p}, \mathcal{O}{X{n,d} \smallsetminus {p}})$$
  而 $X_{n,d}$ 的全局截面是 $k$，所以 $X_{n,d} \smallsetminus {p}$ 的全局截面也是 $k$。如果它是仿射簇的话，它的维数应该等于其全局截面环的Krull维数，这就会推出它的维数是0，显然矛盾。所以当 $n \geq 2$ 时，$X_{n,d} \smallsetminus {p}$ 肯定不是仿射簇。

• 但当 $n=1$ 时，Hartog延拓定理就不适用了，我就不知道该怎么分析了。比如当 $n=1$、$d=2$ 时，要是用“$\mathbb{P}^2$ 中的非奇异二次曲线同构于 $\mathbb{P}^1$”这个结论，就能直接得出 $X_{1,2} \smallsetminus {p}$ 同构于 $\mathbb{A}^1$，是仿射的。但对于一般的 $d>2$ 的情况呢？

另外，我其实不太想依赖上面那个“重量级结论”——我目前知道的证明方法是利用亏格为0的曲线都同构（靠Riemann-Roch定理），有没有更初等的方法来证明这个二次曲线的结论呀？

谢谢各位的解答和评论！祝大家新年快乐！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hetong Xu