关于独立柯西分布变量的均值仍服从柯西分布的证明请求

嘿，你已经找对了方向——核心就是先求$Z=X+Y$的分布，再推导$Z/2$的分布。你之前写的那个$h(y)$其实是卷积积分的原函数，不过不用绕那么远，有两种更直观高效的方法，我给你详细讲讲：

方法一：特征函数法（最简洁） #

标准柯西分布（位置参数0，尺度参数1）的概率密度是：
$$f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$$
它对应的特征函数是$\varphi(t)=e^{-|t|}$，这是柯西分布的核心特性之一。

因为$X$和$Y$是独立的柯西随机变量，它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于两者特征函数的乘积：
$$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\cdot\varphi_Y(t)=e^{-|t|}\cdot e^{-|t|}=e{-2|t|}$$

现在看$W=Z/2=(X+Y)/2$的特征函数，根据特征函数的缩放性质：若$W=aZ+b$，则$\varphi_W(t)=\varphi_Z(at)e^{ibt}$，这里$a=1/2$、$b=0$，代入得：
$$\varphi_W(t)=\varphi_Z\left(\frac{t}{2}\right)=e^{{-2\left|\frac{t}{2}\right|}=e}{-|t|}$$

这个结果和标准柯西分布的特征函数完全一致！而特征函数与概率分布是一一对应的，所以$W=(X+Y)/2$服从标准柯西分布。

方法二：卷积直接计算概率密度 #

如果你更习惯用积分推导，我们可以直接计算$Z=X+Y$的概率密度，再推导$W=Z/2$的密度。

对于独立随机变量，和的概率密度是两者密度的卷积：
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$$
代入柯西的密度函数：
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{{\infty}\frac{1}{\pi(1+(z-y)}2)}\cdot\frac{1}{\pi(1+y^2)}dy$$

通过分式分解或留数定理计算这个积分，结果为：
$$f_Z(z)=\frac{2}{\pi(4+z^2)}$$

接下来用变量替换求$W=Z/2$的密度：令$w=z/2$，则$z=2w$、$dz=2dw$，代入得：
$$f_W(w)=f_Z(2w)\cdot 2=\frac{2}{\pi(4+(2w)^2)}\cdot 2=\frac{4}{\pi(4+4w^{2)}=\frac{1}{\pi(1+w}2)}$$
这正是标准柯西分布的概率密度函数。

关于你提到的n个独立柯西变量的平均 #

用特征函数法可以直接推广这个结论：假设$X_1,X_2,...,X_n$是独立的标准柯西变量，它们的和的特征函数是$(e^{-|t|})n=e^{{-n|t|}$，那么平均$\frac{1}{n}\sum_{i=1}}nX_i$的特征函数为$e^{{-n\left|\frac{t}{n}\right|}=e}{-|t|}$，同样对应标准柯西分布。这也是柯西分布的特殊性质——它不满足中心极限定理。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alpha Beta