寻找所有满足f⁵(x)=kx的正整数到正整数的映射函数

我来聊聊我对这个问题的思考过程吧：

我们的目标是找出所有从正整数到正整数的函数$f$，使得对任意正整数$x$，都有$f$的5次迭代等于$k$乘以$x$，也就是：
$$f^5(x) = kx$$
这里$f^5(x)$指的是连续应用$f$五次：$f(f(f(f(f(x))))) = kx$，其中$k$是某个给定的正整数。

最开始我没琢磨出太有条理的推导方法，就先试着构造一些可能的函数来验证：

• 首先想到的是类似幂函数的形式：$f(x) = x\sqrt[5]{k}$。但很快发现问题：$\sqrt[5]{k}$不一定是整数，比如当$k=2$时，$\sqrt[5]{2}$是无理数，这时候$f(x)$就不是正整数了，不符合函数的映射要求；
• 之后又尝试了反比例形式的函数：$f(x) = \frac{k}{x}$。但同样存在问题，当$x$不能整除$k$的时候，$\frac{k}{x}$不是正整数，没法满足所有正整数$x$的映射需求。

目前我还在摸索更系统的解法，但先把这些尝试的结果分享出来~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1134699