如何证明$\left|b_n-b\right|<\frac{|b|}{2}$可推出$\left|b_n\right|>\frac{|b|}{2}$？

我太懂这种卡在看似“显然”的步骤上的憋屈感了！其实不用挨个分正负情况抠细节，用反向三角不等式就能一步到位解决这个问题，简直是为这种场景量身定做的～

先给你补个关键工具：对于任意实数$x$和$y$，反向三角不等式成立：
$$||x| - |y|| \leq |x - y|$$

现在我们套用到你的问题上：
已知$\left|b_n - b\right| < \frac{|b|}{2}$，根据反向三角不等式，我们可以得到：
$$||b_n| - |b|| \leq |b_n - b| < \frac{|b|}{2}$$

把这个绝对值不等式拆开来，它等价于：
$$-\frac{|b|}{2} < |b_n| - |b| < \frac{|b|}{2}$$

我们只需要关注左边的不等关系：
$$|b_n| - |b| > -\frac{|b|}{2}$$

把$|b|$移到右边，直接就能算出：
$$|b_n| > |b| - \frac{|b|}{2} = \frac{|b|}{2}$$

要是你对反向三角不等式的来源有点懵，其实它可以从我们最熟悉的普通三角不等式推出来：
因为$|b| = |b_n + (b - b_n)| \leq |b_n| + |b - b_n|$，移项后得到$|b| - |b_n| \leq |b - b_n|$；同理也能推出$|b_n| - |b| \leq |b_n - b|$，把这两个式子合起来就是反向三角不等式啦，完全可以自己推导，不用死记硬背～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者username_entity