判断城市集合上的S关系是否为偏序关系

咱们先把问题拆解清楚哈：给定集合( C )是所有城市的集合，关系( S = {(x,y) \mid x \in C \text{且} y \in C \text{之间距离小于50英里}} )，要判断它是不是偏序关系，得先回忆下偏序关系的三个核心要求：自反性、反对称性、传递性，咱们逐个验证：

• 自反性：满足
  任何城市到自身的距离都是0英里，显然小于50英里，所以对所有( x \in C )，都有( (x,x) \in S )，自反性成立。

• 反对称性：不满足
  反对称性的规则是：如果( (x,y) \in S )且( (y,x) \in S )，那么必须( x = y )。但现实中随便找两个距离小于50英里的不同城市就行——比如城市A和B相距30英里，那( (A,B) )和( (B,A) )都属于S，但A≠B，直接违反了反对称性。

• 传递性：不满足
  举个具体例子就能看出来：
  假设城市X到Y的距离是20英里（满足( (X,Y) \in S )），Y到Z的距离是40英里（满足( (Y,Z) \in S )），但X到Z的直线距离可能是60英里（超过50英里，所以( (X,Z) \notin S )）。这就说明传递性不成立：前两个关系都满足，但推导不出第三个关系。

偏序关系必须同时满足自反、反对称、传递三个条件，而这里的S只满足自反性，另外两个条件都不达标，所以它不是偏序关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ineedmoney