关于递归序列的两个证明问题求助

大家好，我现在遇到了一个递归序列的证明难题，卡在了两个小问上，希望能得到各位的提示或者解答思路！

问题描述 #

给定递归序列：设 $x_1 = a > 2$，且递归式为
$$x_{n+1} = \frac{x_n^2}{2(x_n - 1)}, \quad n=1,2,\dots$$

需要证明以下两个结论：

• (i) 若 $a \leq 3$，则对所有正整数 $n$，有 $x_n \leq 2 + \frac{1}{2^{n-1}}$；
• (ii) 若 $a > 3$，则当 $n \geq \frac{\lg\left(\frac{a}{3}\right)}{\lg \frac{4}{3}}$ 时，有 $x_{n+1} < 3$。

我的尝试 #

我已经完成了一些基础推导：

• 用数学归纳法证明了对所有 $n$，都有 $x_n > 2$；
• 推导得出 $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{x_n}{2(x_n - 1)} < 1$（这里我是通过观察函数 $f(x) = \frac{x}{2(x-1)}$ 的图像验证的，确认这个比值小于1，说明序列是递减的）。

对于(i)，我原本计划用数学归纳法来证明：
假设当 $n$ 时结论成立，即 $x_n \leq 2 + \frac{1}{2^{n-1}}$，那么代入递归式可得：
$$x_{n+1} = \frac{x_n^2}{2(x_n - 1)} \leq \frac{x_n^2}{2(2-1)} = \frac{x_n^2}{2} \leq \frac{\left(2 + \frac{1}{2^{{n-1}}\right)}2}{2}$$
但到这一步之后，我就不知道怎么继续化简，把它推导到 $x_{n+1} \leq 2 + \frac{1}{2^n}$ 了，卡在了这里。

对于(ii)，我目前完全没有思路，不知道该从哪个角度入手，希望能得到大家的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user431550