关于能否不借助逆否原则证明经典命题逻辑对偶性原则的技术问询

嘿各位逻辑领域的大佬，我最近在读Antony Eagle的《Elements of Deductive Logic》第88页时，看到对偶性原则的标准证明是结合代入规则和逆否原则（就是那个“若$A\vDash B$，则$\neg B\vDash \neg A$”的规则）完成的。先再明确下这个对偶性原则：它指的是如果公式$A$语义蕴涵公式$B$（即$A\vDash B$），那么$B$的对偶式$B^{*$会语义蕴涵$A$的对偶式$A}$，这里的$\alpha^$表示公式$\alpha$的对偶式（也就是把$\alpha$里的合取$\land$和析取$\lor$互换，同时如果有逻辑常量的话交换$\top$和$\perp$）。

现在我卡在这儿了：有没有可能绕开逆否原则，用其他方法来证明这个对偶性原则呢？比如只用代入规则，或者结合其他更基础的命题逻辑规则？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emma