求经2D仿射矩阵变换后圆的AABB及椭圆旋转角计算方法

1. 如何通过共轭半直径计算椭圆的旋转角？ #

椭圆的旋转角是其主轴（长轴或短轴）与x轴的夹角，可通过共轭半直径对应的二次型矩阵特征向量求解，步骤如下：

计算步骤 #

1. 用共轭半直径f1、f2构造列向量矩阵M：

   M = [[f1.x, f2.x],
        [f1.y, f2.y]]
   

2. 计算矩阵M与其转置的乘积MMt：

   MMt = [[f1.x² + f2.x², f1.x*f1.y + f2.x*f2.y],
          [f1.x*f1.y + f2.x*f2.y, f1.y² + f2.y²]]
   

3. 对于这个2x2对称矩阵，其特征向量的角度就是椭圆的旋转角θ，满足：

   tan(2θ) = 2*b / (a - d)
   

   其中a = f1.x² + f2.x²，b = f1.x*f1.y + f2.x*f2.y，d = f1.y² + f2.y²
4. 用反正切函数计算最终旋转角：

   ellipse.rotation = 0.5 * atan2(2*b, a - d)
   

   注：atan2(y, x)能正确处理全象限角度，避免普通tan函数的象限歧义。

2. 无需转换为椭圆，直接计算变换后圆的AABB的方法 #

存在更高效的直接计算方式，核心是利用仿射变换对单位向量的极值特性：

计算步骤 #

假设仿射变换矩阵matrix的线性部分（剥离平移）为L = [[m00, m01], [m10, m11]]，平移部分为(tx, ty)：

1. 计算变换后的圆心C'：

   C'.x = m00*circle.center.x + m01*circle.center.y + tx
   C'.y = m10*circle.center.x + m11*circle.center.y + ty
   

   若使用齐次矩阵，直接执行matrix * circle.center即可得到C'。
2. 计算x、y方向的最大扩展量：
   • x方向：dx = circle.radius * sqrt(m00² + m01²)
   • y方向：dy = circle.radius * sqrt(m10² + m11²)
     这里的平方根是矩阵对应行的L2范数，代表线性变换作用在单位向量上时，该分量的最大绝对值。
3. 直接得出AABB边界：

   min_x = C'.x - dx
   max_x = C'.x + dx
   min_y = C'.y - dy
   max_y = C'.y + dy
   

原理说明 #

圆上任意点可表示为circle.center + circle.radius * (cosθ, sinθ)，经仿射变换后x分量为C'.x + circle.radius*(m00*cosθ + m01*sinθ)。其中m00*cosθ + m01*sinθ的最大值为sqrt(m00² + m01²)（由柯西不等式推导），最小值为其相反数，因此用该值乘以半径即可得到x方向的总扩展，y方向同理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HankMoody