为何Stratonovich积分的期望不恒为零？

你犯了一个关键错误——在推导Stratonovich积分的期望时，你默认了$E\left{G_{\frac{t_{i+1}+t_i}{2}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\right} = E\left{G_{\frac{t_{i+1}+t_i}{2}}\right}E{W_{t_{i+1}}-W_{t_i}}$，但这个等式并不成立！

先看Ito积分为什么能拆分期望 #

Ito积分选取的是区间左端点的$G_{t_i}$，对于满足条件的适应过程$G_s$，左端点的$G_{t_i}$完全由$t_i$时刻之前的信息决定，而Wiener过程的增量$W_{t_{i+1}}-W_{t_i}$是独立于过去所有信息的，因此两者是独立的，这时候“期望的乘积等于乘积的期望”是成立的，这也是Ito积分期望为0的核心原因。

Stratonovich积分的问题出在哪？ #

Stratonovich积分选取的是区间中点$\frac{t_i+t_{i+1}}{2}$的$G$值，这个中点的$G$和增量$W_{t_{i+1}}-W_{t_i}$不独立！因为增量$W_{t_{i+1}}-W_{t_i}$包含了从$t_i$到$t_{i+1}$整个区间的Wiener过程变化，而中点的$G$（比如当$G_s=W_s$时）已经包含了$t_i$到中点这段的变化，两者存在相关性，所以不能直接拆分期望。

用具体例子验证 #

最直观的例子就是取$G_s = W_s$：

• Ito积分：$\int_{0}^t W_s dW_s = \frac{1}{2}W_t^2 - \frac{1}{2}t$，它的期望是$E\left[\frac{1}{2}W_t^2 - \frac{1}{2}t\right] = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}t = 0$，符合之前的结论。
• Stratonovich积分：$\int_{0}^t W_s \circ dW_s = \frac{1}{2}W_t^{2$，它的期望是$E\left[\frac{1}{2}W_t}2\right] = \frac{1}{2}t$，显然不为零！

回到你的推导，拿$G_s=W_s$计算：
$E\left{W_{\frac{t_i+t_{i+1}}{2}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\right}$的结果是$\frac{h}{2}$（其中$h=t_{i+1}-t_i$），而不是两者期望的乘积（后者为0）。把所有区间的这个值求和，$\sum \frac{h}{2} = \frac{t}{2}$，当$h\to0$时极限就是$\frac{t}{2}$，和Stratonovich积分的结果完全一致。

总结 #

核心差异在于两种积分的采样点选择：Ito的左端点采样保证了过程值与后续增量独立，而Stratonovich的中点采样打破了这种独立性，导致期望无法拆分，最终积分的期望也就不一定为零了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Midess