二阶线性非齐次常微分方程通解求解求助
嗨，你已经做对了一半啦！先给你点个赞——你求出的齐次方程通解完全正确，不过找特解的时候确实遇到了一个常见的小问题，我来帮你捋清楚~
首先，你得到的齐次通解：
$$
y_h = C_1 + C_2e^{2x}
$$
这部分没问题，因为特征方程 ( t^2 - 2t = 0 ) 的根是 ( t=0 ) 和 ( t=2 )，对应齐次解就是常数项和 ( e^{2x} ) 项，推导过程完全正确。
接下来是找非齐次方程的特解，你一开始假设特解是 ( y_p = Ax^2 + Bx + C )，这里的问题在于：非齐次项是 ( x^2 )（多项式类型），而齐次解里已经包含了常数项（也就是多项式的0次项），这时候按照微分方程特解的设定规则，我们需要给原来的多项式特解乘以 ( x )，避免和齐次解的项重复，也就是应该设：
$$
y_p = x(Ax^2 + Bx + C) = Ax^3 + Bx^2 + Cx
$$
现在我们来计算这个特解的导数并代入原方程：
- 一阶导数：( y_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C )
- 二阶导数：( y_p'' = 6Ax + 2B )
把它们代入原方程 ( y'' - 2y' = x^2 )，左边展开计算：
$$
\begin{align}
y_p'' - 2y_p' &= (6Ax + 2B) - 2(3Ax^2 + 2Bx + C) \
&= 6Ax + 2B - 6Ax^2 - 4Bx - 2C \
&= -6Ax^2 + (6A - 4B)x + (2B - 2C)
\end{align}
$$
让左边等于右边的 ( x^2 )，也就是对应同类项的系数相等：
- ( x^2 ) 项系数：( -6A = 1 ) → ( A = -\frac{1}{6} )
- ( x ) 项系数：( 6A - 4B = 0 )，代入 ( A = -\frac{1}{6} ) 得：( -1 - 4B = 0 ) → ( B = -\frac{1}{4} )
- 常数项：( 2B - 2C = 0 ) → ( B = C ) → ( C = -\frac{1}{4} )
所以特解就是：
$$
y_p = -\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x
$$
最后，非齐次方程的通解就是齐次通解加上特解：
$$
y = C_1 + C_2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x
$$
备注：内容来源于stack exchange，提问作者tangent_26
