关于矩阵列等价定理的证明正确性验证及逆命题证明求助

我在学习矩阵相关知识时，遇到了如下定理：

一个$m×n$矩阵$B$与$m×n$矩阵$A$列等价，当且仅当$B=AQ$，其中$Q$是$n$阶非奇异矩阵。

我的正向证明过程 #

我尝试证明这个定理的正向推导（列等价→$B=AQ$），思路如下：

假设$A$和$B$是列等价的矩阵，也就是说$B$是通过对$A$执行一系列初等列变换得到的。根据初等变换与矩阵乘法的关系：

• 交换$A$的第$i$、$j$列得到的矩阵$C_{ij}(A) = A(E_{ij})^t$
• 将$A$的第$i$列乘以非零常数$c$得到的矩阵$C_i(c)(A) = A(E_i(c))^t$
• 将$A$的第$j$列的$c$倍加到第$i$列得到的矩阵$C_{ij}(c)(A) = A(E_{ij}(c))^t$

这里的$E_{ij}$、$E_i(c)$、$E_{ij}(c)$都是初等行矩阵。那么$B$就可以写成这些变换的乘积形式：$B = AE_1^tE_2t\cdots E_k^t$，其中$E_1,E_2,\dots,E_k$是对应的初等行矩阵。

因为所有初等矩阵都是非奇异的，它们的转置同样具有非奇异性，而且非奇异矩阵的乘积仍然是非奇异的。所以令$Q = E_1^tE_2t\cdots E_k^t$，那么$Q$就是一个$n$阶非奇异矩阵，由此可得$B = AQ$。

我的疑问 #

1. 请问上面的正向证明是否正确？
2. 我卡在了定理的逆命题证明上：如果$B = AQ$（$Q$是$n$阶非奇异矩阵），如何证明$B$与$A$列等价？我知道非奇异矩阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，也就是$Q = E_1E_2\cdots E_k$（$E_1$到$E_k$都是初等矩阵），但不知道怎么把这个结论和初等列变换联系起来，希望能得到指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arthur