关于奇数次非线性常微分方程$x''+x^k+x^n=0$所有解周期性的证明求助

我现在正在尝试证明这个命题：

如果$n,k$都是奇数，证明微分方程
$$x''+x^k+xn=0 \tag{$\star$}$$
的所有解都是周期解。

首先我做了这些推导步骤：

• 令$y=x'$，把原二阶方程转化为一阶方程组的形式：
  $$
  \begin{pmatrix}
  x'\
  y'
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}y\
  -f(x)
  \end{pmatrix} \tag{$\blacksquare$}
  $$
  这里我定义了$f(x)=x^k+xn$。
• 我已经确认这个方程组唯一的平衡点是$(0,0)$。
• 另外我构造了一个可微函数：
  $$H(x,y):=\frac{x^{{k+1}}{k+1}+\frac{x}{n+1}}{n+1}+\frac{y^2}{2}$$
  并且证明了它是方程组$(\blacksquare)$的首次积分——因为验证了$H_x y - f(x) H_y = 0$，也就是这个函数的值会沿着解曲线保持恒定。

我能意识到这个首次积分$H$的水平曲线应该是周期的，但到这里我就卡住了，不知道该怎么往下推进，完成“所有解都是周期解”的证明。有没有可能在这里应用庞加莱-本迪克松定理来突破这个卡点呢？

非常感谢任何形式的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hackerman