关于病毒分组检测的两次期望计算问题求助

我拿到了下面这份作业题，第二题实在搞不定，希望能得到帮助：

1000人参与病毒检测，每个人感染病毒的概率为$p$，相互独立。我们将这些人分成50个均等的小组$A_1,\ldots,A_{50}$：
第一阶段，对每个小组的混合样本进行检测；之后，对所有检测呈阳性的小组，再逐个检测组内的每个人。

1. 用$p$表示实验室需要进行的检测次数的期望值。
2. 假设分组检测是随机的，后续的个体检测也是随机的（从所有阳性组的人群中随机选择检测顺序）。设$Z$为随机变量，表示直到确定Anna（随机选的一个人）的检测结果（阳性/阴性）时，已经完成的检测次数。用$p$表示$Z$的期望值。

我的第一题解法，求验证 #

我设$X_1,\ldots,X_{50}$为每个小组的检测次数，先计算单个小组的期望检测次数：
$$E(X_i) = 1 \cdot P(\text{组内20人都未感染}) + 21 \cdot P(\text{组内至少1人感染})$$
代入概率计算后得到：
$$E(X_i) = 21 - 20(1-p)^{20}$$
然后总期望就是50个小组的期望之和：
$$E(X) = 50 \cdot E(X_i) = 50\left(21-20\left(1-p\right)^{20}\right)$$
请问这个解法是正确的吗？

第二题的思路与困惑 #

我想引入随机变量$Y \sim \text{Ber}\left(1-(1-p)^{20}\right)$，表示Anna所在的小组是否检测呈阳性。然后用全期望公式$E(Z) = E\left(E[Z|Y]\right)$来计算：

• 当$Y=0$时，我算出$E(Z|Y=0)=25.5$，这个应该是对的？
• 但当$Y=1$时，计算$E(Z|Y=1)$的过程变得非常繁琐，越算越乱。我这个思路方向是对的吗？还是有更简便的方法？

麻烦大家帮我看看，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abzikro