寻找满足几何分布映射条件的所有非负整数函数

我最近碰到一个挺有意思的概率函数问题，一开始完全摸不着头绪，想不出解法：

寻找所有函数 $f:\mathbb{Z}{\geq 0}\to\mathbb{Z}{\geq 0}$，使得对于任意满足 $0< \lambda < 1$ 的参数，若随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的几何分布（记为 $X\sim G(\lambda)$），则一定存在某个 $0<\mu < 1$，使得 $f(X)$ 服从参数为 $\mu$ 的几何分布（$f(X) \sim G(\mu)$）。

好在看了下面的解答之后，我终于搞懂怎么解决这个问题啦！

剧透预警：所有满足条件的函数都是形如 $f_d:x\mapsto \lfloor x/d\rfloor$ 的函数，其中 $d$ 是某个固定的正整数（$d\geq 1$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Noomkwah