我现在正在尝试证明下面这个命题，其中++表示后继函数（也就是 2++ = S(2) = 3）：

设$n$是自然数，$P(m)$是关于自然数的一个性质，满足只要$P(m++)$为真，那么$P(m)$也为真。同时假设$P(n)$为真，那么对于所有满足$m \leq n$的自然数$m$，$P(m)$都为真。

我希望有人能帮我检查我的证明，同时澄清一个特定的步骤。我的证明写得比较啰嗦，但我就喜欢这种细致的风格。我把自己的证明尝试做成了图片形式，这样发布起来更省心：

（注：此处原本应附上证明图片，暂未提供）

我最纠结的是归纳步骤里的(5)。虽然直觉上它显然是对的，但现在的核心任务就是要把这些“看起来显然正确”的结论用严谨的逻辑推导出来。我现在没法给出这个步骤成立的明确论据，非常感谢所有反馈，尤其是针对这个具体问题的建议。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ich bin viele