有限维空间中dim U + dim U⁰ = dim V的非基方法证明疑问

嘿，我理解你想避开基来证明$U^0 \cong V/U$（这其实等价于$\dim U + \dim U^0 = \dim V$）的思路，方向是对的，不过你卡住的地方其实是补空间$W$的选取没有和自同构$\psi$关联起来，我来帮你把这个逻辑补全：

首先，你的前期推导都没问题：

• 问题等价于证明$U^0 \cong V/U$；
• 找到$V^{*$的子空间$W$使得$V}* = U^0 \oplus W$，定义投影$p: V^* \to V^{*$，得到$\text{Im}(p)=U}0$，$\ker(p)=W$，进而$U^0 \cong V^*/\ker(p)$；
• 利用有限维空间的自对偶性，取同构$\psi: V \to V^$，商映射$\eta: V \to V/U$，定义$g: V/U \to V^/\ker(p)$为$g(v+U)=\psi(v)+\ker(p)$，且已经证明$g$是满射。

现在重点解决你卡壳的单射性证明：
你之前的问题是没明确$W$的具体选取，其实我们可以把$W$取为$\boldsymbol{\psi(U)}$，这样$W$满足：

1. $U^0 \cap W = {0}$：假设$\varphi \in U^0 \cap \psi(U)$，则$\varphi=\psi(u)$对某个$u \in U$，且$\varphi(u')=0$对所有$u' \in U$，即$\psi(u)(u')=0$。因为$\psi$是同构，它诱导的双线性型$\langle v, w \rangle = \psi(v)(w)$是非退化的，所以$\langle u, u' \rangle=0$对所有$u' \in U$意味着$u=0$，即$\varphi=0$；
2. $\dim U^0 + \dim W = (\dim V - \dim U) + \dim U = \dim V = \dim V^{*$，所以$V}* = U^0 \oplus W$成立。

现在用这个$W=\psi(U)$来证$g$的单射性：
若$g(v+U)=0+\ker(p)$，则$\psi(v) \in \ker(p)=W=\psi(U)$。因为$\psi$是同构，它是单射的，所以$\psi(v) \in \psi(U)$直接推出$v \in U$，即$v+U=0+U$，所以$\ker(g)={0+U}$，$g$是单射。

这样$g$就是同构，结合之前的$U^0 \cong V^*/\ker(p)$，就得到$V/U \cong U^0$，进而推出$\dim U + \dim U^0 = \dim V$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Photon Microscope