请求验证定理$B_X(n)={ m conj}_G(B_X(n))$的证明正确性

首先可以明确告诉你：你的证明思路是完全正确的，那两处存疑的步骤都是成立的，下面我逐一为你解释清楚：

1. 关于$(*)$与$(1)$左边的等价性 #

首先，$B_X(n)$是$\bigcup_{k=0}^n S_k$，其中$S_k$代表$k$个${\rm conj}_G(X)^{\pm1}$的乘积集合（每个因子独立取正或负）。共轭操作和集合的并集是可以交换顺序的：对任意一组集合${A_i}$，都有${\rm conj}_G(\bigcup A_i) = \bigcup {\rm conj}_G(A_i)$——原因很直观，一个元素属于左边当且仅当它是某个$A_i$中元素的共轭，也就是必然属于某个${\rm conj}_G(A_i)$。

对于每个$S_k$，它是所有$k$个${\rm conj}_G(X)^{\pm1}$乘积的集合，那么${\rm conj}_G(S_k)$就是所有形如$h(b_1b_2\cdots b_k)h^{-1}$的元素集合（其中每个$b_i\in{\rm conj}_G(X)^{\pm1}$，$h\in G$）。根据群运算的结合律和共轭的性质，$h(b_1b_2\cdots b_k)h^{-1} = (hb_1h^{-1})(hb_2h{-1})\cdots(hb_kh^{-1})$，所以${\rm conj}_G(S_k)$恰好是${ hbh^{-1}\mid b\in S_k, h\in G}$，也就是$\left({ hbh^{-1}\mid b\in{\rm conj}_G(X)^{\pm1}, h\in G}\right)^k$。

把这些结论合并起来，就能推出$(*)$和$(1)$的左边是完全等价的，这一步逻辑没有问题。

2. 关于等式$(1)$的正确性 #

等式$(1)$的核心依据是：对于任意集合$T$，${ hbh^{-1}\mid b\in T, h\in G}^k = \left(\bigcup_{h\in G}hTh^{-1}\right)k$。

原因在于：左边是所有$k$个“$T$中元素的共轭”的乘积，右边是所有$k$个“$T$的共轭集合”的乘积——每个“$T$中元素的共轭”必然属于某个$hTh^{{-1}$，反过来，每个$hTh}{-1}$中的元素都是$T$中元素的共轭，所以两者生成的$k$次乘积集合是完全一致的。

再结合你已证的引理：$h{\rm conj}_G(X)h^{-1}={\rm conj}_G(X)$，对于${\rm conj}_G(X)^{-1}$，显然也有$h{\rm conj}_G(X)^{-1}h{-1}=(h{\rm conj}_G(X)h^{-1}){-1}={\rm conj}G(X)^{-1}$，因此$\bigcup{h\in G}h{\rm conj}_G(X)^{\pm1}h{-1}={\rm conj}_G(X)^{\pm1}$，这一步也完全成立。

总结来说：你的证明逻辑严谨，两处存疑的步骤都有合理的理论依据，最终结论是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shaun