关于利用二元联合密度求解|Y|的Quantile function的步骤正确性咨询
你的思路核心方向是对的，但有一处细节需要调整，咱们一步步拆解验证：
第一步：求Y的边缘密度
你提到的通过对联合密度关于x积分得到$Y$的边缘密度$f_Y(y)$完全正确，这是从二元联合分布推导单变量边缘分布的标准方法：
$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x$$
咱们可以实际计算一下这个积分，给定联合密度$f(x, y)=\frac{1}{2 \pi}\left(1+x2+y2\right)^{-3 / 2}$，做变量替换$x = \sqrt{1+y2}\tan\theta$，最终可以得到$f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1+y2)}$——这是标准柯西分布的概率密度函数。第二步：推导|Y|的累积分布函数（CDF）
你之前写的$F_Y(|y|)$是个小误区，正确的应该是定义|Y|的专属CDF：对于$t \geq 0$，
$$F_{|Y|}(t) = P(|Y| \leq t) = P(-t \leq Y \leq t) = F_Y(t) - F_Y(-t)$$
而$F_Y(t)$是Y的CDF，即$\int_{-\infty}^t f_Y(s)ds$。结合咱们算出的柯西密度，代入可得：
$$F_{|Y|}(t) = \frac{2}{\pi}\arctan(t) \quad (t \geq 0)$$
当$t < 0$时，$F_{|Y|}(t)=0$，因为|Y|不可能为负。第三步：求解|Y|的分位数函数
分位数函数$Q_{|Y|}(p)$的正确定义是：对于$p \in (0,1)$，找到最小的非负实数$q$，使得$F_{|Y|}(q) = p$，也就是：
$$Q_{|Y|}(p)=\inf \left{ q \geq 0 \mid F_{|Y|}(q)=p \right}$$
结合咱们得到的$F_{|Y|}(t)$，解方程$\frac{2}{\pi}\arctan(q)=p$，可以直接得到：
$$Q_{|Y|}(p) = \tan\left( \frac{\pi p}{2} \right)$$
总结一下：你的核心逻辑（边缘密度→单变量分布→分位数）是对的，只是在定义|Y|的CDF时需要注意区分它和Y的CDF的关系，不要直接代入$F_Y(|y|)$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Logi
