关于arxiv论文1908.08875中q-Pochhammer符号比值渐近性极限的验证问询

嘿，咱们来捋一捋这个问题——先明确下q-Pochhammer符号的定义：(z;q)_\infty \equiv \prod_{k=0}^\infty(1-zq^k)，对吧？

在论文1908.08875的公式(9.23)里，作者声称对于整数$r,m$，以下两个极限是“容易”证明的：
$$\lim_{y\to 0}\frac{(yq^{\frac{2-r+m}{2};q)_\infty}{(y}{-1}q^\frac{r+m}{2};q)\infty}=\lim{y\to \infty}(-y)^mq\frac{(1-r)m}{2}\frac{(yq^{\frac{2-r+m}{2};q)_\infty}{(y}{-1}q^\frac{r+m}{2};q)_\infty}=1$$

不过我做完数值测试之后，觉得第一个极限的结论好像不对。我的分析思路是这样的：
当$y\to0$时，咱们分别拆解分子和分母的q-Pochhammer符号：

• 分子部分：$(yq^\frac{2-r+m}{2};q)_\infty$，当$y$趋近于0时，乘积里的每一项都是$1 - yq^{{\frac{2-r+m}{2}+k}$，所有项都会趋近于1，所以整个分子的极限是1（无穷乘积$\prod_{k=0}}\infty 1$收敛到1）。
• 分母部分：$(y^{-1}q\frac{r+m}{2};q)_\infty$，当$y\to0$时，$y^{-1}$趋向于正无穷，乘积的第一项就是$1 - y^{-1}q\frac{r+m}{2}$，会趋向于负无穷，后面的每一项$1 - y^{-1}q{\frac{r+m}{2}+k}$也都会趋向于负无穷，整个无穷乘积的绝对值会趋向于无穷大。

这么算下来，分子趋向于1，分母趋向于无穷大，那整个比值的极限应该是0，也就是：
$$\lim_{y\to 0}\frac{(yq^{\frac{2-r+m}{2};q)_\infty}{(y}{-1}q^\frac{r+m}{2};q)_\infty}=0$$

现在我想确认两个点：原论文给出的结论是正确的吗？如果确实正确，能不能给我一些证明的提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blind Miner