马尔可夫过程下10天周期内相同天气区块的期望数量求解求助

大家好，能不能帮我指点一下思路呀！问题是这样的：

某一天的天气有三种可能：晴天（概率0.4）、阴天（概率0.4）、雨天（概率0.2）。

我们把天气区块定义为连续多天相同天气的最大组，比如：连续8天雨天，接着1天晴天，再1天雨天，这样就有3个区块。

天气服从一阶马尔可夫过程，转移矩阵如下：

[
  [.5, .25, .25],
  [.5, .25, .25],
  [0, 1, 0]
]

举个例子：如果今天是晴天或阴天，那么明天是晴天的概率是0.5，阴天0.25，雨天0.25；如果今天是雨天，明天一定是阴天。

可以验证，平稳分布就是初始的[0.4, 0.4, 0.2]。

现在想问：在10天的周期里，相同天气区块的期望数量是多少？

提示说：不用计算每种可能区块数的概率，试着把答案定义为求和式，利用期望的线性性。

我已经解决了天气独立情况下的问题：这种情况下，先算任意一天天气变化的概率，乘以9（总共9个可能的变化点），再加1（区块数等于变化次数加1）。计算过程是：

9 * (2/5*3/5 + 2/5*3/5 + 1/5*4/5) + 1 =
9*16/25 + 1 =
6 19/25 = 6.76

但现在这个马尔可夫链的情况把我难住了，实在不知道怎么入手。

再次感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cjouelle