关于对应$a_{4,\cdot}$系数多项式的已知极限常数的问询

嘿，你观察到的这个规律真的很有意思！先梳理下你提到的几个关键例子：

• 对应$a_{2,\cdot}$（也就是$2,1$，对应多项式$2n+1$）的是斯特林公式里的$\sqrt{2\pi}$，它直接关联阶乘的渐近行为；
• 对应$a_{3,\cdot}$（$6,6,1$，对应多项式$6n^{2+6n+1$）的是Glaisher-Kinkelin常数$A$，和超阶乘$H(n)=\prod_{k=1}}n k^k$的渐近展开绑定。

你现在问的是对应$a_{4,\cdot}$的多项式$24n³⁺³⁶ⁿ2+14n+1$，是否存在类似的已知常数，关联你猜测的$H_2(n)=\prod_{k=1}^n k^{kk}$这类更高阶的“叠乘”——答案是肯定的，这类常数确实存在！

首先，这个方向属于高阶Glaisher-Kinkelin型常数的研究范畴，和你观察到的规律完全契合：当你考虑$m$层指数的叠乘$H_m(n)=\prod_{k=1}^n k^{k{k^{\cdot{\cdot^k}}}}$，它们的渐近展开里，指数部分的多项式系数正好对应第二类斯特林数乘阶乘的结果$a_{m+1,k}=(k!)S(m+1,k)$：

• m=1时是阶乘，对应m+1=2，$a_{2,1}=1!S(2,1)=1$，$a_{2,2}=2!S(2,2)=2$，对应多项式$2n+1$；
• m=2时是超阶乘，对应m+1=3，$a_{3,1}=1!S(3,1)=1$，$a_{3,2}=2!S(3,2)=6$，$a_{3,3}=3!S(3,3)=6$，对应多项式$6n^2+6n+1$；
• m=3时就是你提到的$H_2(n)$，对应m+1=4，$a_{4,1}=1!S(4,1)=1$，$a_{4,2}=2!S(4,2)=14$，$a_{4,3}=3!S(4,3)=36$，$a_{4,4}=4!S(4,4)=24$，完美匹配多项式$24n³⁺³⁶ⁿ2+14n+1$。

对应的极限常数，是这个高阶叠乘渐近展开里的常数项，大致的极限形式可以写成：
$$
C = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{H_2(n)}{n^{\frac{24n3+36n^{2+14n+1}{12}}e}{-\frac{n^{3}{3}-\frac{n}2}{4}-\frac{n}{12}}}
$$
这个常数$C$没有像$\sqrt{2\pi}$或者$A$那样普及的专属符号，一般会被称为“三阶Glaisher-Kinkelin常数”，或者在文献中根据上下文直接描述，它可以通过对数Gamma函数的高阶导数、多重zeta函数来表示，也能通过渐近展开的前几项近似计算数值。

总结下来：

• 你猜测的这个常数确实存在，属于高阶Glaisher-Kinkelin型常数家族；
• 它和$a_{4,\cdot}$多项式的关联完全延续了前两个例子的规律；
• 这类常数主要出现在高阶叠乘的渐近分析中，虽然没有通用的专属符号，但在特殊函数和数论研究中是被认可的研究对象。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gist076923