关于极限$ \lim\limits_{x \to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x} $计算错误原因的咨询

我来帮你拆解一下你计算过程里的问题哈～

你在推导到这一步时：
$$ L = \lim {x \to 0} \frac { \cos x - \frac{\sin x}{x}} {x^2 \cdot \frac{\sin x}{x}} $$
直接将$\lim{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$代入，得到$ L = \lim _{x \to 0} \frac { \cos x - 1} {x^2} $，这就是出错的核心环节。

关键错误点：忽略了高阶无穷小的影响 #

$\frac{\sin x}{x}$并不是严格等于1，而是当$x\to0$时，它是趋近于1的带有高阶无穷小的表达式：根据$\sin x$的泰勒展开$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，可以推导出：
$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$$

你直接把它替换成1，相当于丢掉了后面的$-\frac{x^2}{6} + o(x^2)$项，但这个看似微小的项，在分子和$\cos x$（同样带有高阶无穷小：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$）结合后，会直接影响最终的极限结果。

正确的推导过程 #

我们把分子分母的高阶无穷小都保留下来计算：

• 分子：$\cos x - \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - \left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right) = -\frac{x^2}{3} + o(x^2)$
• 分母：$x^2 \cdot \frac{\sin x}{x} = x^2 \cdot \left(1 + o(1)\right) = x^2 + o(x^2)$

此时极限为：
$$ L = \lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}{3} + o(x^2)}{x2 + o(x^2)} = -\frac{1}{3} $$
这就和正确结果一致了。

总结一下规则 #

只有当某个极限为1的因子是整个分式的独立非零因子（即可以把分式拆成该因子乘以另一个有极限的分式）时，才能用极限的乘积法则替换它。而在你的推导里，$\frac{\sin x}{x}$同时出现在分子和分母的分式内部，属于和其他无穷小项相互作用的部分，不能直接替换成1，否则会丢失关键的高阶无穷小信息。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ga Me