可分闭域上代数群中心化子可表性证明的细节疑问

我最近在证明可分闭域上代数群的中心化子、正规化子、转运子的可表性时，卡在了一个细节上，想和大家探讨一下。

先明确设定条件：
设$k = k_s$是可分闭域，$G$是有限型$k$-群，作用在有限型$k$-概形$X$上。$W \subset X$是几何约化的分离$G$-稳定闭子概形，对每个$w \in W(k)$，$\alpha_w : G \to W$是轨道映射。

我们的目标是证明：函子意义下的中心化子
$$
\underline{Z}_G(W) : S \longmapsto {g \in G(S) : g.w = w ;; \forall w \in W(S'),,S'/S}
$$
可由候选子群
$$
Z'G(W) := \bigcap{w \in W(k)} \alpha_w^{-1}(w) : S \longmapsto {g \in G(S) : g.w_S = w_S ;; \forall w\in W(k)}
$$
表示。

目前我已经理清了两点：

• 显然存在子函子包含关系：$\underline{Z}_G(W) \subseteq Z'_G(W)$；
• 二者在$k$-点上是相等的：因为$W$是一般光滑的，$k$-点在$W$中扎里斯基稠密，再结合$W$的分离性，在稠密子集上相等的态射$g$和$\operatorname{id}_W : W \to W$必然是同一个态射。

但我卡在了最关键的一步：怎么证明对任意概形$S$，都有$\underline{Z}_G(W)(S) = Z'_G(W)(S)$？
对于一般的$S$，我只能得到两个态射$g, \operatorname{id}_{W_S} : W_S \to W_S$在那些来自$W(k)$的$S$-点上相等，但不知道怎么把$k$-点的密度论证推广到任意$S$的情况。

另外还有一个思路有人提到：只要证明$\underline{Z}_G$是某个合适拓扑下的层，再证明层的满射性就行，但我没看出来这个思路怎么让问题变得更容易处理。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者C.D.