关于James空间$(J,\|\cdot\|_J)$完备性证明的困惑求助

各位好，我目前在证明James空间$(J,|\cdot|_J)$的完备性时遇到了瓶颈，想在这里请教大家有没有思路。

先明确一下James空间的定义：

• 集合定义：$ J = { x \in c_0 : |x|J < \infty } $，其中$ c_0 = { x = (x^1, x^2, ...) : \lim{n \to \infty}{x^n} = 0}$
• 范数定义：$ |x|J := \sup{ n_1 < ...<n_k }( \sum_{i=1}^{k-1} (x_{n_i} - x_{n_{i+1}})^{2} )^{1/2} $

我的推导到这里就卡住了：

1. 假设$ {x_j} \subset J $是柯西序列，那么根据柯西序列的定义，$\forall \epsilon>0 \exists N>0 : \forall j,p \geq N$，都有$ |x_j - x_p|_J < \epsilon$
2. 我尝试利用$ |x_j^{k}| = \lim_{n \to \infty}|x_j^{k} - x_j^{n}|$来继续推导，但到这一步就不知道该怎么往下走了。

有没有大佬能指点一下接下来该怎么推进这个证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FreeD