求椭圆变形后曲线的参数方程
嘿，这个问题很有意思！咱们先从简化方程入手，把原曲线做个变量替换：令 ( u = \frac{x}{a} )，( v = \frac{y}{b} )，变形后的曲线方程立刻简洁了不少：
$$u^2 + v^2 - \alpha u2v2 = 1$$
原椭圆的参数化（( u=\cos\theta, v=\sin\theta )）刚好满足 ( u^2 + v^2 = 1 )，现在多了个耦合项 ( -\alpha u2v2 )，我们可以基于原椭圆的参数θ，调整参数化形式来抵消这个项的影响。
第一种参数化方式（以y的原参数为基础）
先固定 ( v = \sin\theta )（对应原椭圆y分量的参数），代入简化后的方程解u：
$$u^2 + \sin^2\theta - \alpha u2\sin2\theta = 1$$
整理后得到：
$$u^2(1 - \alpha\sin^2\theta) = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$$
因此：
$$u = \pm \frac{\cos\theta}{\sqrt{1 - \alpha\sin^2\theta}}$$
转换回x和y的形式，最终参数方程为：
$$x = \pm \frac{a\cos\theta}{\sqrt{1 - \alpha\sin^2\theta}}, \quad y = b\sin\theta \quad (\theta \in [0, 2\pi])$$
第二种参数化方式（以x的原参数为基础）
如果固定 ( u = \cos\theta )，代入方程解v：
$$\cos^2\theta + v^2 - \alpha\cos^2\theta v^2 = 1$$
整理得：
$$v^2(1 - \alpha\cos^2\theta) = 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$$
因此：
$$v = \pm \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \alpha\cos^2\theta}}$$
对应x和y的参数方程就是：
$$x = a\cos\theta, \quad y = \pm \frac{b\sin\theta}{\sqrt{1 - \alpha\cos^2\theta}} \quad (\theta \in [0, 2\pi])$$
合理性验证
当 ( \alpha = 0 ) 时，两个参数化的分母都变为1，直接退化为原椭圆的参数方程 ( x=a\cos\theta, y=b\sin\theta )，完全符合预期，说明这个扩展是成立的。
另外要注意，参数方程里的正负号是为了覆盖曲线的所有象限——你可以根据θ的范围调整符号，或者直接保留正负号来表示完整的曲线。这类曲线的参数化方式并非唯一，但上面两种是最贴近原椭圆参数逻辑的，理解和使用起来都很方便。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gibrate
