关于差属于开集的距离条件的技术问询

嗨，我来帮你理清这个问题～

首先，你提出的等价关系：
$$x-y\in U \iff \text{dist}(x-y,\partial U)>0$$
这个是完全正确的——因为开集的本质定义就是集合内的所有点都是内点，而一个点是内点的等价条件就是它到集合边界的距离大于0。不过这个结论只是把“点在开集内”的定义换了一种表述，并没有用到题目里给出的$\text{dist}(x,\partial U)>\varepsilon$这个前提，所以没有解决问题的核心：结合已知的$x$到$U$边界的距离限制，给出$y$需要满足什么具体条件才能让$x-y\in U$。

接下来我们推导这个具体条件：
利用$\mathbb{R}^n$中距离的三角不等式，对于任意$z\in\partial U$，有：
$$|(x-y)-z| = |x - (y+z)| \geq |x - z| - |y|$$
已知$\text{dist}(x,\partial U)>\varepsilon$，也就是对所有$z\in\partial U$，$|x-z|>\varepsilon$。如果我们让$|y| < \varepsilon$，那么代入上面的不等式可得：
$$|(x-y)-z| > \varepsilon - |y| > 0$$
这意味着$x-y$到$\partial U$中任意一点的距离都大于0，也就是$x-y\in U$。

进一步推广的话，这个条件可以更一般化：只要$|y| < \text{dist}(x,\partial U)$，就一定能保证$x-y\in U$。反过来，如果$|y| \geq \text{dist}(x,\partial U)$，则存在$y$使得$x-y\notin U$（比如取$y$的方向指向$U$的边界，长度等于$\text{dist}(x,\partial U)$，此时$x-y$会落在$\partial U$上，自然不在开集$U$内）。

总结一下：你最初的等价式是开集的基本性质，但要解决题目中的问题，需要结合$x$到边界的距离限制，得到$y$的范数需要小于这个距离的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NatMath