满足|r-p| - |r-q| = K的点r的轨迹求解咨询

嘿，这个问题其实是双曲线定义的经典应用，咱们一步步把方程解出来，你就能明白啦：

首先你已经把点的坐标设得很合理了：$p=(c,0)$，$q=(-c,0)$，$r=(r_1,r_2)$，得到的方程是：
$$\sqrt{(r_1 - c)^2 + r_2^2} - \sqrt{(r_1 + c)^2 + r_2^2} = K \quad (K>0)$$

第一步：移项后平方消去一个根号 #

先把右侧的根号移到等式另一侧，方便后续平方操作：
$$\sqrt{(r_1 - c)^2 + r_2^2} = K + \sqrt{(r_1 + c)^2 + r_2^2}$$
两边同时平方，展开右侧的完全平方项：
$$(r_1 - c)^2 + r_2^2 = K^2 + 2K\sqrt{(r_1 + c)^2 + r_2^2} + (r_1 + c)^2 + r_2^2$$

第二步：化简后分离剩余根号 #

把两边相同的项（$r_2^2$、$r_12$、$c^2$）抵消，整理后得到：
$$-2cr_1 = K^2 + 2K\sqrt{(r_1 + c)^2 + r_2^2}$$
把常数项移到左侧，再两边乘-1（让右侧根号前的系数为负，方便后续判断轨迹的定义域）：
$$2cr_1 + K^2 = -2K\sqrt{(r_1 + c)^2 + r_2^2}$$
这里要注意：右侧是负值（$K>0$，根号本身非负），所以左侧必须满足 $2cr_1 + K^2 ≤ 0$，也就是 $r_1 ≤ -\frac{K^2}{2c}$，这是后续轨迹的定义域限制。

第三步：再次平方消去剩余根号 #

两边同时平方，展开左右两侧的式子：
$$(2cr_1 + K²⁾2 = 4K^2[(r_1 + c)^2 + r_2^2]$$
展开后合并同类项，最终可以整理出标准的双曲线方程形式：
$$\frac{\left(r_1 + \frac{cK^2}{2(c2 - K^2)}\right)2}{\left(\frac{K}{2}\right)^2} - \frac{r_2^2}{\frac{c2 - K^2}{4}} = 1$$

结论：轨迹的类型 #

根据双曲线的定义：平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为定值（且定值小于两焦点间距离）的点的轨迹是双曲线。
对应你的问题：

• 当 $0 < K < 2c$（$2c$是$p$和$q$之间的距离）时，轨迹是双曲线的左支（因为$r_1$有上限限制，对应靠近$q$的那一支）；
• 当 $K = 2c$ 时，轨迹是从$p$出发，沿着$pq$延长线（$q$的左侧方向）的射线；
• 当 $K > 2c$ 时，不存在这样的实数点$r$（违反三角形两边之差小于第三边的性质）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mark