对称五对角Toeplitz矩阵的最大条件数求解问询
我现在在研究一类对称五对角Toeplitz矩阵，先给大家明确一下矩阵的定义：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & a & b & & \cdots & & & & \
a & 1 & a & b& \cdots & & & & \
b & a & 1& a & \cdots & & & & \
& b & a & 1 & \cdots & & & & \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\
& & & & \cdots & 1 & a & b & \
& & & & \cdots & a & 1 & a & b \
& & & & \cdots & b & a & 1 & a \
& & & & \cdots & & b & a & 1 \
\end{bmatrix}_{n \times n}
$$
其中参数满足：
- $a, b \in \mathbb{R}$
- $0 \le b \le a < \dfrac{1}{2}$
- 矩阵$A$是对称正定的（也就意味着所有特征值$\lambda > 0$）
我的问题是：**对于所有正整数$n$，矩阵$A$的最大条件数$K(a, b)$是多少？**这里条件数的定义是：
$$K(a, b) = \max_{n \in \mathbb{N}^{}} \kappa(a, b, n) = \max_{n \in \mathbb{N}^{} } \dfrac{\lambda_{max}(a, b, n)}{\lambda_{min}(a, b, n)}$$
补充发现（EDIT）
我用数值方法测试了很多组$(a, b)$参数对，发现条件数$\kappa(a, b, n)$关于$n$是单调非减的：
$$\kappa(a, b, 1) \le \kappa(a, b, 2) \le \cdots \le \kappa(a, \ b, \ n) \le \kappa(a, \ b, \ n+1) \le \cdots$$
所以其实最大条件数$K(a, b)$应该等于$n$趋向无穷时的极限：
$$K(a, \ b) = \lim_{n \to \infty} \kappa(a, \ b, \ n)$$
我还计算了几个小维度$n$对应的条件数：
- 当$n=1$时，$A = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$，此时$\kappa(a, \ b, \ 1) = 1$
- 当$n=2$时，$A = \begin{bmatrix}1 & a \ a & 1\end{bmatrix}$，此时$\kappa(a, \ b, \ 2) = \dfrac{1+a}{1-a}$
- 当$n=3$时，$A = \begin{bmatrix}1 & a & b \ a & 1 & a \ b & a & 1\end{bmatrix}$，此时$\kappa(a, \ b, \ 3) = \dfrac{1+\frac{1}{2}\left(b+\sqrt{b2+8a2}\right)}{1+\frac{1}{2}\left(b-\sqrt{b2+8a2}\right)}$
另外，我还推导了两种特殊情况的结果：
情况1：$b=0$
此时矩阵退化为三对角Toeplitz矩阵，特征值为：
$$\lambda_k = 1+2a\cos \left(\dfrac{k\pi}{n+1}\right) \ \ \ k = 1, \ \cdots, \ n$$
对应的条件数是：
$$\kappa(a, \ 0, \ n) = \dfrac{1+2a \cos \left(\frac{\pi}{n+1}\right)}{1-2a\cos \left(\frac{\pi}{n+1}\right)}$$
当$n \to \infty$时，极限为：
$$K(a, \ 0) = \dfrac{1+2a}{1-2a}$$
情况2：$a=0$
此时矩阵退化为五对角（实际是次对角/超对角间隔为2的）Toeplitz矩阵，特征值满足：
$$\lambda_k = 1+2b \cdot \cos \phi_k$$
对应的条件数是：
$$\kappa(0, \ b, \ n) = \dfrac{1+2b \ \cos \phi_{min}}{1-2b \ \cos \phi_{min}}$$
当$n \to \infty$时，极限为：
$$K(0, \ b) = \dfrac{1+2b}{1-2b}$$
现在想请教大家，对于一般的$0 \le b \le a < 1/2$的情况，这个最大条件数$K(a,b)$的表达式应该是什么呢？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Carlos Adir
