联合概率P(X+Y≤1/2)计算错误求助

嘿，我来帮你揪出问题所在～你出错的核心原因是忽略了原概率密度函数的定义域限制：题目明确说了PDF仅在0<y<x<1时有效，所以设置积分上下限时，不能只考虑X+Y≤1/2这个条件，还要同时满足y<x的前提。

你的积分直接把y的上限设为1/2 -x，但当x比较小的时候（比如x<1/4），1/2 -x会大于x，这时候如果取y到1/2 -x，就违反了y<x的定义域要求，这部分区域的PDF其实是0，不能算进去的！

正确的做法是把积分分成两个区间来计算：

1. 当x∈[0, 1/4]时：
   此时1/2 -x ≥x，要满足y<x且X+Y≤1/2，y的上限只能是x（因为y=x时X+Y=2x≤1/2，刚好符合条件）。这部分的积分是：
   ∫₀^(1/4) ∫₀^x 8xy dydx
   计算后得到结果为1/256。

2. 当x∈[1/4, 1/2]时：
   此时1/2 -x <x，y的上限可以取1/2 -x（既满足X+Y≤1/2，又符合y<x的要求）。这部分的积分是：
   ∫_(1/4)^(1/2) ∫₀^(1/2 -x)8xy dydx
   计算后得到结果为5/768。

把两部分加起来：1/256 +5/768 = 3/768 +5/768 =8/768=1/96，正好是正确答案～

简单来说，你之前的积分把一部分y>x的无效区域也算进去了，这就导致结果变成了正确值的两倍（1/48=2*(1/96)），修正上下限后就能得到正确结果啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MrAlpaca