函数图像关于点I=(a,b)对称的等价条件推导疑问及证明

最近在推导函数关于点$I=(a,b)$对称的等价条件时，我遇到了个小困惑，先跟大家梳理下整个过程：

首先，已知结论是：函数$f$关于点$I=(a,b)$对称的充要条件是$f(2a - x) + f(x) = 2b$；而我们熟悉的关于原点$O=(0,0)$对称的奇函数定义是$f(-x) = -f(x)$。

我原本的思路是：如果函数$f$关于点$I=(a,b)$对称，那把坐标系的原点平移到$I$之后，新坐标系下的函数应该是关于原点对称的奇函数。不过这里我一开始搞错了新函数的定义，导致推导结果不对：

我错误地设了新函数$g(x) = f(x - a) + b$，然后根据原点对称的条件$g(-x) = -g(x)$代入推导：

$f(-x - a) + b = -(f(x - a) + b)$
$\iff f(-x - a) + b = -f(x - a) - b$
$\iff f(-x - a) + f(x - a) = -2b$
$\iff -f(-x - a) - f(x - a) = 2b$

显然这个结果和我们要的$f(2a - x) + f(x) = 2b$完全对不上，这就让我卡壳了。

后来才发现，问题出在坐标系平移后的函数定义上！正确的做法应该是：把原坐标系的原点移到$I=(a,b)$后，原坐标$(x, f(x))$在新坐标系中的坐标是$(x' = x - a, y' = f(x) - b)$，所以新函数应该定义为$g(x') = f(x' + a) - b$——也就是用新坐标$x'$表示原坐标$x = x' + a$，再代入原函数得到新的函数值。

现在用这个正确的$g(x')$来推导原点对称的条件$g(-x') = -g(x')$：

$f(-x' + a) - b = -(f(x' + a) - b)$
$\iff f(a - x') - b = -f(a + x') + b$
$\iff f(a - x') + f(a + x') = 2b$

这时候我们做个变量替换，令$x = a + x'$，那么$x' = x - a$，代入上式中的$a - x'$就得到$a - (x - a) = 2a - x$，于是式子就变成了：
$f(2a - x) + f(x) = 2b$

完美！这就和我们已知的等价条件对上了，原来一开始的函数定义错误才导致了推导偏差。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vince Vickler