关于Ring、canonical projection与projective A-模的模论作业问题求助

大家好！最近在做模论相关的作业题时卡壳了，想请教下各位前辈。题目和我目前的尝试情况如下：

作业题目 #

问题1 #

设$A$是一个环，$I \subset A$是一个理想。假设典范投射$f \colon A \to A/I$有一个截面（即$f$存在右逆）。证明存在$a \in A$使得$a^2 = a$且$I = (a)$。

问题2 #

假设$A$是整环，证明$A/I$是投射$A$-模当且仅当$I = 0$或$I = A$。

我的尝试与困境 #

• 针对问题1，我试着从右逆和典范投射的定义入手，但折腾了很久都没找到推进的方向，完全不知道怎么构造出满足条件的幂等元$a$。
• 针对问题2：
  • 正向推导（$A/I$是投射模$\implies I=0$或$I=A$）：我完全没头绪，不知道怎么把投射模的性质和整环的条件结合起来；
  • 反向推导：当$I=A$时，我已经完成了证明，但当$I=0$时，我不清楚怎么证$A/I$（也就是$A$本身）是投射$A$-模。

麻烦各位大佬帮忙指点一下，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user775699