求二元函数$f(x,y)=x+y+4\sin x \sin y$的局部极值：驻点求解求助

嘿，我来帮你搞定这个驻点求解的问题！你已经算出了关键的两个等式：$\cos x \sin y=-\frac{1}{4}$和$\cos y \sin x =-\frac{1}{4}$，接下来咱们就从这两个式子入手一步步推导出驻点。

首先，把这两个等式相减，得到：
$$\cos x \sin y - \cos y \sin x = 0$$
你应该记得三角恒等式$\sin(A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B$，这里正好对应$\sin(y - x)=0$。这意味着$y - x = k\pi$（$k$是任意整数），也就是**$y = x + k\pi$**，接下来咱们分两种核心情况讨论：

情况1：$k$为偶数，即$y = x$ #

把$y=x$代入$\cos x \sin y=-\frac{1}{4}$，就变成了$\cos x \sin x = -\frac{1}{4}$。利用二倍角公式$\cos x \sin x = \frac{1}{2}\sin2x$，代入后得到：
$$\frac{1}{2}\sin2x = -\frac{1}{4} \implies \sin2x = -\frac{1}{2}$$
解这个三角函数方程，$2x$的解是：
$$2x = 2n\pi + \frac{7\pi}{6} \quad \text{或} \quad 2x = 2n\pi + \frac{11\pi}{6} \quad (n\in\mathbb{Z})$$
所以对应的$x$值为：
$$x = n\pi + \frac{7\pi}{12} \quad \text{或} \quad x = n\pi + \frac{11\pi}{12}$$
因为$y=x$，所以这部分的驻点是：
$$\left(n\pi + \frac{7\pi}{12}, n\pi + \frac{7\pi}{12}\right) \quad \text{和} \quad \left(n\pi + \frac{11\pi}{12}, n\pi + \frac{11\pi}{12}\right) \quad (n\in\mathbb{Z})$$

情况2：$k$为奇数，即$y = x + \pi$ #

把$y=x+\pi$代入$\cos x \sin y=-\frac{1}{4}$，先利用$\sin(x+\pi)=-\sin x$化简，式子变成：
$$\cos x \cdot (-\sin x) = -\frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2}\sin2x = -\frac{1}{4} \implies \sin2x = \frac{1}{2}$$
解这个方程，$2x$的解是：
$$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{或} \quad 2x = 2n\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (n\in\mathbb{Z})$$
对应的$x$值为：
$$x = n\pi + \frac{\pi}{12} \quad \text{或} \quad x = n\pi + \frac{5\pi}{12}$$
因为$y=x+\pi$，所以这部分的驻点是：
$$\left(n\pi + \frac{\pi}{12}, n\pi + \frac{\pi}{12}+\pi\right) \quad \text{和} \quad \left(n\pi + \frac{5\pi}{12}, n\pi + \frac{5\pi}{12}+\pi\right) \quad (n\in\mathbb{Z})$$

你可以挑几个点验证一下，比如取$n=0$时的$\left(\frac{7\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right)$，计算$\cos x \sin y$的结果确实是$-\frac{1}{4}$，完全符合咱们最开始的等式~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sonj4