三次可微函数不等式推导f(1)=f(2)的证明问题求助

大家好，我最近碰到一道数学证明题卡壳了，想请教下各位的思路：

设函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是三次可微的，且对任意 $x \in \mathbb{R}$，都满足 $2f(x)\geq f(1)+f(2)$。需要证明 $f(1)=f(2)$。

我一开始想着用中值定理（MVT）来突破，试了好几个包含$x$的区间，但最后拆分出太多情况，折腾半天没得到实质性的结论。后来又尝试用最值定理切入，可还是没找对关键点。现在我有点犯嘀咕，是不是自己漏了什么核心思路？或者会不会题目本身存在问题？毕竟之前也遇到过出错的练习题。有没有大佬能给点指引或者看法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ericforman