模算术互素性证明的正确性验证请求

给定 $a, b, x \in \mathbb{Z}$，$n \in \mathbb{N}$，令 $h = \text{hcf}(a, n)$。假设 $h \mid b$，记 $a'=\frac{a}{h}, b'=\frac{b}{h}$，$n'=\frac{n}{h}$，需要证明 $a'$ 与 $n'$ 互素。

我自己尝试的证明过程是这样的：
根据贝祖引理，存在整数 $u$ 和 $v$ 使得 $ax + nv = h$。两边除以 $h$，代入题目给出的定义后得到 $a'x + n'y = 1$。令 $h' = \text{hcf}(a', n')$，那么 $h' \mid a'$ 且 $h' \mid n'$，根据相关引理，$h'$ 必然整除 $a'x + n'y = 1$。既然 $h'$ 能整除等式左边，那它也必须整除右边的1，所以 $h' = 1$ 或者 $h' = -1$。但最大公约数必须是正整数，因此 $h' = 1$，这就说明 $a'$ 和 $n'$ 互素。

不过我对除以 $h$ 之后的推导步骤不太确定，有没有人能帮我检查一下这个证明是否正确？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1071088