Atiyah & Macdonald习题2.25：不借助Tor交换性的证明方法问询

你提到的这个困惑确实很合理——用Tor函子的证明看似依赖了Tor的交换性，而咱们在Atiyah的学习进度里可能还没接触到这个结论，甚至可能还没完全搞懂Tor的双向定义差异。其实不用Tor，只用书中已经讲过的平坦模基本性质和正合序列的处理就能搞定这个习题，完全绕开交换性问题，具体如下：

先回顾习题条件：给定短正合序列 $0 \to N' \to N \to N'' \to 0$，其中 $N''$ 是平坦模，要证 $N'$ 平坦当且仅当 $N$ 平坦。

我们分两个方向来证：

方向1：若 $N'$ 平坦，则 $N$ 平坦 #

任取一个单同态 $f: M \to M'$，根据平坦模的定义，我们只需要证明 $1_N \otimes f: N \otimes M \to N \otimes M'$ 也是单同态。

把原短正合序列分别和 $M$、$M'$ 做张量积，得到下面的交换图：

0 → N'⊗M → N⊗M → N''⊗M → 0
    ↓         ↓         ↓
0 → N'⊗M' → N⊗M' → N''⊗M' → 0

这里每行都是正合的：因为 $N''$ 是平坦模，张量积会保持短正合序列的正合性；而左边的竖箭头 $1_{N'} \otimes f$ 是单同态（因为 $N'$ 平坦，满足平坦模的定义）。

接下来用元素追踪推导：假设 $x \in N \otimes M$ 满足 $(1_N \otimes f)(x) = 0$，把x映射到 $N'' \otimes M$ 得到y，那么 $(1_{N''} \otimes f)(y) = 0$。由于 $N''$ 平坦，$1_{N''} \otimes f$ 是单同态，所以y=0，这说明x是从 $N' \otimes M$ 里的某个元素z映射过来的。而 $(1_{N'} \otimes f)(z) = 0$，又因为 $N'$ 平坦，$1_{N'} \otimes f$ 是单同态，所以z=0，进而x=0。这样就证明了 $1_N \otimes f$ 是单同态，也就是 $N$ 平坦。

方向2：若 $N$ 平坦，则 $N'$ 平坦 #

同样任取单同态 $f: M \to M'$，要证 $1_{N'} \otimes f: N' \otimes M \to N' \otimes M'$ 是单同态。

还是用刚才的交换图，现在已知 $N$ 平坦，所以中间的竖箭头 $1_N \otimes f$ 是单同态；$N''$ 平坦，右边的竖箭头也是单同态。

假设 $z \in N' \otimes M$ 满足 $(1_{N'} \otimes f)(z) = 0$，把z映射到 $N \otimes M$ 得到x，那么 $(1_N \otimes f)(x) = 0$。因为 $1_N \otimes f$ 是单同态，所以x=0——而原短正合序列和M张量后是正合的，所以 $N' \otimes M \to N \otimes M$ 是单同态，这就意味着z=0。这样就证明了 $1_{N'} \otimes f$ 是单同态，也就是 $N'$ 平坦。

这个方法完全用了Atiyah & Macdonald里已经讲过的内容：平坦模的原始定义（张量积保持单射）、平坦模对短正合序列的作用（保持正合）、以及基础的正合序列元素追踪，完全不需要涉及Tor函子的任何性质，更不用提交换性了。其实这个习题本来就应该是在引入Tor之前就可以完成的，所以用基础方法才是更贴合教材进度的选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Frank