关于仅由数字{1,2}构成的数的平方中不同数字计数的猜想求证
2026-4-23
关于仅由数字{1,2}构成的数的平方中不同数字计数的猜想求证
大家好，我最近在研究一类特殊自然数的平方的数字特征，先明确一下核心定义：设$f(n)$是仅由数字${1,2}$组成的第$n$大的十进制自然数。
从早期计算数据来看，对于$1\leq k \leq 9$，存在一个最大的$n$，使得$f(n)^2$的十进制表示中，不同数字的个数不超过$k$。我整理了前几个结果，做成了如下表格：
| k | n | f(n) | f(n)² | digits in f(n)² |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 4 | {4} |
| 2 | 12 | 212 | 44944 | {4,9} |
| 3 | 52 | 21212 | 449948944 | {4,8,9} |
| 4 | 114 | 221122 | 48894938884 | {3,4,8,9} |
| 5 | 7336 | 221121212112 | 48894590445880095500544 | {0,4,5,8,9} |
现在我有一个猜想，想请大家帮忙看看能不能证明它为真或假；如果实在没法严格证明，给出“大概率正确/错误”的结论并附上推理依据也可以接受。
更新内容
经过大量模拟计算后，我把猜想推广到了任意大于2的基数$r$：当$c$足够大时，所有在基数$r$下仅由数字${1,2}$组成且$n>c$的数，其平方中出现的不同数字个数一定落在区间$\left[\left\lfloor{\dfrac{r}{2}}\right\rfloor,r\right]$内。
另外，不出所料的是，当$n$趋向于无穷大时，$n^2$中不同数字的个数几乎必然等于$r$。
我觉得最适合深入研究的具体例子是$r=4$的情况。在前约$3\times10^8$个符合条件的$n$中，我统计了每个不同数字个数$k$对应的$n$的数量，结果如下：
| k | n count | max(f(n)) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $1_4$ |
| 2 | 4 | $2211_4$ |
| 3 | 591 | $\infty$ |
| 4 | 316051761 | $\infty$ |
这里$k=3$的数增长得非常缓慢，而且毫无规律可言。
还有一个值得关注的情况是$r=9$：所有形如$2^*$（即由多个2组成）且不小于$222$的数，它们的平方的不同数字个数都是5，我觉得这从二次剩余的角度来看是很合理的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trevor
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