可控线性动态系统最优控制律的反馈形式改写证明求助

架构老林

2026-4-23

我现在遇到一个线性最优控制的推导问题，想请教大家怎么把开环形式的最优控制转换成反馈形式：

我们有一个可控的线性动态系统：
$$
\begin{align*}
\dot{x}&=Ax+Bu\
x(0)&=x_{0}
\end{align*}
$$
给定如下代价函数（终端约束为$x(t_1)=0$）：
$$
J(u,t_{1})=\int_{0}^{t_{1}}u{T}udt
$$
已知该问题的最优控制开环表达式为：
$$
u^{*}=-B{T}e^{A{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})^{-1}e{At_{1}}x_{0}
$$
现在需要证明这个最优控制可以写成以下依赖于当前状态$x(t)$的反馈形式：
$$
u^{*}=-B{T}e^{A{T}(t_{1}-t)}W(t,t_{1})^{-1}e{A(t_{1}-t)}x(t)
$$

我目前的尝试过程

我先从已知的开环最优控制表达式入手，尝试做代数改写：
$$
\begin{align*}
u^{*}&=-B{T}e^{A{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})^{-1}e{At_{1}}x_{0}\
&=-B^{T}e{A^{{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})}{-1}e^{{A(t_{1}-t)}e}{At}x_{0}\
&=-B^{T}e{A^{{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})}{-1}e^{{A(t_{1}-t)}\left(x(t)-\int_{0}}{t}e^{A(t-s)}Bu(s)ds\right)\
&=-B^{T}e{A^{{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})}{-1}e^{{A(t_{1}-t)}x(t)+B}{T}e^{A{T}(t_{1}-t)}W(0,t_{1})^{-1}e{A(t_{1}-t)}\int_{0}^{t}e{A(t-s)}Bu(s)ds
\end{align*}
$$
这里我用到了线性时不变系统的状态转移解：
$$
x(t)=e^{{At}x_{0}+\int_{0}}{t}e^{A(t-s)}Bu(s)ds
$$