环中素理想均为极大理想是否等价于该环是主理想整环（PID）？

嘿，这个问题问得挺有价值的！首先得先澄清一个小细节：如果严格按照“所有素理想（包括零理想）都是极大理想”来理解的话，那只有域满足这个条件（因为零理想是极大理想当且仅当环是域），而域确实是PID，但反过来PID不一定是域（比如$\mathbb{Z}$），这显然和你说的“如果R是PID那很显然”矛盾，所以咱们默认讨论的是每个非零素理想都是极大理想这个前提来聊。

首先正向推导确实成立：如果$R$是PID，那么任何非零素理想$(p)$都是极大的——假设存在理想$I$使得$(p)\subsetneq I\subseteq R$，因为$R$是PID，$I=(a)$，那么$p\in(a)$意味着$a\mid p$，而$p$是素元，所以$a$要么是单位要么是$p$的相伴元，这就推出$I=R$或者$I=(p)$，矛盾，所以$(p)$是极大理想。

但反向的等价关系不成立，也就是说存在不是PID，但每个非零素理想都是极大的整环，我给你举个经典的例子：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$，也就是所有形如$a+b\sqrt{-5}$（$a,b$是整数）的数构成的整环。

咱们来验证两点：

• 它的每个非零素理想都是极大理想：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$是一个戴德金环，戴德金环的核心性质之一就是“每个非零素理想都是极大理想”（它的Krull维数是1，也就是不存在非零素理想被另一个更大的素理想包含）。
• 它不是PID：比如理想$(2,1+\sqrt{-5})$就不是主理想。你可以通过范数来验证：这个理想的范数是2（因为它在$\mathbb{Z}$上的商环是$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$），如果它是主理想$(a+b\sqrt{-5})$，那它的范数应该是$a^2+5b2$，但不存在整数$a,b$使得$a^2+5b2=2$，所以这个理想无法由单个元素生成，因此$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$不是PID。

还有个更直观的例子是$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$，它的非零素理想也都是极大的，但理想$(2,1+\sqrt{-3})$同样不是主理想，理由类似：范数为2，但$a^2+3b2=2$没有整数解。

总结一下：“每个非零素理想都是极大理想”是PID的必要条件，但不是充分条件，戴德金环就是一类满足这个条件但不一定是PID的环（只有当戴德金环的理想类群平凡时才是PID）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anon